1.Cho tam giác ABC có BC=4;CA=3;AB=2. Gọi D là chân đường phân giác góc A. Tính độ dài AD.
2.Cho tam giác ABC có AB=5;BC=7;AC=8.Gọi D là điểm trên CA sao cho CD=3. Tính \(\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CB}\)
3. Cho tam giác ABC và đường cao AH,HB=3,HC=5. Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH};\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\)
2.
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow AB^2=CB^2+CA^2-2.\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\frac{CB^2+CA^2-AB^2}{2}\)
\(\overrightarrow{CD}=\frac{3}{8}\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CB}=\frac{3}{8}\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\frac{3}{16}\left(CB^2+CA^2-AB^2\right)=...\)
3.
Câu 3 thiếu dữ liệu nên ko thể tính được (ít nhất cũng phải có độ dài AH nữa)
1.
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}\)
Theo tính chất phân giác:
\(\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{CD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}\Rightarrow\overrightarrow{DB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{5}{3}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow AD^2=\frac{9}{25}AB^2+\frac{4}{25}AC^2+\frac{12}{25}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow AD^2=\frac{9}{25}AB^2+\frac{4}{25}AC^2+\frac{6}{25}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=...\)
