15d.
- Trên \(\left(1;+\infty\right)\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+2\)
\(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0\) nên trên \(\left(1;+\infty\right)\) hàm ko có cực trị
- Trên \((-\infty;1]\): \(f\left(x\right)=-x^2-2x+6\Rightarrow f'\left(x\right)=-2x-2=0\Rightarrow x=-1\) (thuộc đoạn đã cho)
Vậy hàm có 1 cực trị \(x=-1\)
Xét tại \(x=1\) (đây là mấu chốt vấn đề):
\(f'\left(1^+\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\dfrac{x+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-3}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{2}\)
\(f'\left(1^-\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{\left(-x^2-2x+6\right)-3}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(-x-3\right)=-4\)
\(\Rightarrow f'\left(1^+\right)\ne f'\left(1^-\right)\) nên hàm liên tục nhưng ko có đạo hàm tại \(x=1\)
\(\Rightarrow x=1\) là điểm kì dị
Kiểm tra \(x=1\) cực trị hay ko bằng cách thử xem có phải đạo hàm đổi dấu khi đi qua x=1 hay ko (tính đạo hàm tại x=1,1 và 0,9 thấy trái dấu) nên x=1 là 1 cực trị
Vậy hàm có 2 cực trị là x=-1 và x=1
16b.
\(v\left(t\right)=x'\left(t\right)=3t^2-14t+11\)
Tới đây đơn giản là tìm GTLN của hàm \(v\left(t\right)=3t^2-14t+11\) trên \(\left[1;4\right]\)
\(v'\left(t\right)=6t-14=0\Rightarrow t=\dfrac{7}{3}\)
\(v\left(1\right)=0\) ; \(v\left(4\right)=3\) ; \(v\left(\dfrac{7}{3}\right)=-\dfrac{16}{3}\)
Vậy \(\max\limits_{\left[1;4\right]}v\left(t\right)=3\)
Câu này sai.
