\(x^4-2x^3+2mx^2-8x^2-2mx+m^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+mx^2+2x^3-8x^2+2mx+mx^2-4mx+m^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-4x+m\right)+2x\left(x^2-4x+m\right)+m\left(x^2-4x+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+m\right)\left(x^2-4x+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+2x+m=0\left(1\right)\\x^2-4x+m=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
a.
Pt có nghiệm khi (1) hoặc (2) có nghiệm
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1-m\ge0\\4-m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le4\)
b.
Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi (1) và (2) đều có 2 nghiệm pb và ko có nghiệm chung
Gọi nghiệm chung của 2 pt là x \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+m=0\\x^2-4x+m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow6x=0\Rightarrow x=0\)
Thay ngược \(x=0\) vào 2 pt đã cho ta được \(m=0\)
Vậy 2 pt ko có nghiệm chung khi \(m\ne0\)
Do đó pt có 4 nghiệm pb khi: \(\left\{{}\begin{matrix}1-m>0\\4-m>0\\m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m\ne0\end{matrix}\right.\)
