Violympic toán 8

Nguyễn Hồng Hạnh

1, rút gọn

\(A=\dfrac{3}{\left(1.2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2.3\right)^2}+....+\dfrac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)

BW_P&A
26 tháng 9 2017 lúc 5:52

Violympic toán 8

Bình luận (0)
Nguyễn Huy Tú
26 tháng 9 2017 lúc 14:50

\(A=\dfrac{3}{\left(1.2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2.3\right)^2}+...+\dfrac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)

\(=\dfrac{3}{1.4}+\dfrac{5}{4.9}+...+\dfrac{2n+1}{n^2\left(n^2+2n+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)

\(=1-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)

\(=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}=\dfrac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\)

Bình luận (3)
Đức Hiếu
26 tháng 9 2017 lúc 5:50

Xét thừa số tổng quát:

\(\dfrac{k}{\left(\dfrac{k-1}{2}.\dfrac{k+1}{2}\right)^2}\)\(=\dfrac{k}{\left(\dfrac{\left(k-1\right)\left(k+1\right)}{4}\right)^2}=\dfrac{k}{\left(\dfrac{\left(k-1\right)\left(k+1\right)}{4}\right)^2}\)

\(=\dfrac{k}{\dfrac{\left[\left(k-1\right)\left(k+1\right)\right]^2}{16}}=\dfrac{k}{\dfrac{\left(k^2-1\right)^2}{16}}=\dfrac{16k}{\left(k^2-1\right)^2}\)

Thay \(k=3;5;....2n+1\) ta được:

\(\dfrac{16.3}{\left(3^2-1\right)^2}+\dfrac{16.5}{\left(5^2-1\right)^2}+....+\dfrac{16.n}{\left(n^2-1\right)^2}\)

\(=16.\left(\dfrac{3}{\left(3^2-1\right)^2}+\dfrac{5}{\left(5^2-1\right)^2}+...+\dfrac{n}{\left(n^2-1\right)^2}\right)\)

\(=16.\left(\dfrac{3}{\left[\left(3-1\right)\left(3+1\right)\right]^2}+\dfrac{5}{\left[\left(5-1\right)\left(5+1\right)\right]^2}+...+\dfrac{n}{\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]^2}\right)\)

\(=16.\left(\dfrac{3}{4.16}+\dfrac{5}{16.36}+...+\dfrac{n}{\left(n-1\right)^2.\left(n+1\right)^2}\right)\)

\(=4.\left(\dfrac{12}{4.16}+\dfrac{20}{16.36}+...+\dfrac{4n}{\left(n-1\right)^2.\left(n+1\right)^2}\right)\)

\(=4.\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{36}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right)\)

\(=4.\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\right)\)

\(=4.\left(\dfrac{\left(n+1\right)^2}{4\left(n+1\right)^2}-\dfrac{4}{4\left(n+1\right)^2}\right)\)

\(=4.\left(\dfrac{\left(n+1\right)^2-4}{4\left(n+1\right)^2}\right)=\dfrac{4\left(n+1\right)^2-16}{4\left(n+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{4\left[\left(n+1\right)^2-4\right]}{4\left(n+1\right)^2}=\dfrac{\left(n+1\right)^2-4}{\left(n+1\right)^2}\)

Chúc bạn học tốt!!!

Bình luận (1)
BW_P&A
26 tháng 9 2017 lúc 20:00

Violympic toán 8

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Bướm Đêm Sát Thủ
Xem chi tiết
Thu Hà Nguyễn
Xem chi tiết
Hoàng Thảo Linh
Xem chi tiết
Vũ Thanh Hằng
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Phát Võ
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Hồ Quế Ngân
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết