Câu hỏi của NgọA Hổ

Question

1).   $\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos2x}{\cos^2x\sin^2x}dx=a+b\sqrt{3}\left(a,b\in Q\right)$.Tính giá trị của biểu thức

A=a+b.

????

2).    \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_...

Vũ Minh Hiếu · Accepted Answer

Mình giải giúp b câu 1 này

Ở phần mẫu bạn biến đổi $cos^2xsin^2x=\frac{1}{4}\left(4cos^2xsin^2x\right)=\frac{1}{4}sin^22x$

Đặt t = sin2x => $d\left(t\right)=2cos2xdx$

Đổi cận $x=\frac{\pi}{4}=>t=1$ $x=\frac{\pi}{3}=>t=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có biểu thức trên sau khi đổi biến và cận

$\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{\frac{1}{2}dt}{\frac{1}{4}t^2}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{2}{t^2}dt=\left(-\frac{2}{t}\right)$lấy cận từ 1 đến $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=-\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\left(-\frac{2}{1}\right)=2-4\frac{\sqrt{3}}{3}$  => a=2 và b=-4/3 vậy A=2/3 nhéCâu trả lời: Mình giải giúp b câu 1 này

Ở phần mẫu bạn biến đổi $cos^2xsin^2x=\frac{1}{4}\left(4cos^2xsin^2x\right)=\frac{1}{4}sin^22x$

Đặt t = sin2x => $d\left(t\right)=2cos2xdx$

Đổi cận $x=\frac{\pi}{4}=>t=1$ $x=\frac{\pi}{3}=>t=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có biểu thức trên sau khi đổi biến và cận

$\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{\frac{1}{2}dt}{\frac{1}{4}t^2}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_1\frac{2}{t^2}dt=\left(-\frac{2}{t}\right)$lấy cận từ 1 đến $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=-\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\left(-\frac{2}{1}\right)=2-4\frac{\sqrt{3}}{3}$  => a=2 và b=-4/3 vậy A=2/3 nhé

Akai Haruma · Answer

Câu 1)

Ta có:

$I=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2x-\sin ^2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx$

$=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\sin^2 x}-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos ^2x}=-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\cot x)-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\tan x)$

$=-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}-1 \right )-(\sqrt{3}-1)=2-\frac{4}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a+b=\frac{2}{3}$Câu trả lời: Câu 1)

Ta có:

$I=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^2x-\sin ^2x}{\cos^2 x\sin^2 x}dx$

$=\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\sin^2 x}-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos ^2x}=-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\cot x)-\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}}d(\tan x)$

$=-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3}-1 \right )-(\sqrt{3}-1)=2-\frac{4}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a+b=\frac{2}{3}$

Akai Haruma · Answer

Câu 2)

$I=\underbrace{\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin ^2xdx}_{A}+\underbrace{\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x\cos 2xdx}{\sqrt{1+3\cos x}}}_{B}$

Có $A=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=$$\left.\begin{matrix}
\frac{\pi}{2}\

0\end{matrix}\right|\left ( \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4} \right )=\frac{\pi}{4}$

$B=-\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{(2\cos ^2x-1)d(\cos x)}{\sqrt{1+3\cos x}}$. Ta đặt $\sqrt{1+3\cos x}=t$

$B=B=\int ^{2}_{1}\frac{\left [ \frac{2(t^2-1)^2}{9}-1\right ]d\left ( \frac{t^2-1}{3} \right )}{t}=\frac{2}{27}\int ^{2}_{1}\left ( 2t^4-4t^2-7 \right )dt$

$=\left.\begin{matrix}
2\

1\end{matrix}\right|\frac{2}{27}\left ( \frac{2t^5}{5}-\frac{4t^3}{3}-7t \right )=\frac{-118}{405}$

$\left\{\begin{matrix}
a=\frac{1}{4}\ 
b=-118\

c=405\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=287,25$

Bài này mà ngồi trong phòng thi mà giải tay thì chết cmnr. Bạn lên youtube xem anh theluc giải bằng casio cho nhanh.Câu trả lời: Câu 2)