1) I= \(\int_e^3\left(2x+1\right)lnxdx\)
2) Cho số phức z thỏa |z+1-i|=|z-3i|. Tìm mô-đun nhỏ nhât của z-i
3) cho hàm số y=f(x) có đạo hàm Dương trên đoạn [1;2] thỏa x.f'(x) +(x+1) f(x) =3x2.e-x và f(1) =1/e. Tính f(2)
4) trong không gian với hệ Toạ độ Oxyz, cho mp (P) : x+y+z+3=0 và đường thẳng d: x/1= y+1/2 = z-2/-1. Viết pt chính tắc của đừoeng thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp (P)
3.
\(x.f'\left(x\right)+\left(x+1\right)f\left(x\right)=3x^2.e^{-x}\)
\(\Leftrightarrow x.e^x.f'\left(x\right)+\left(x+1\right).e^x.f\left(x\right)=3x^2\)
\(\Leftrightarrow\left[x.e^x.f\left(x\right)\right]'=3x^2\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow x.e^x.f\left(x\right)=\int3x^2dx=x^3+C\)
\(f\left(1\right)=\frac{1}{e}\Rightarrow1.e.\frac{1}{e}=1^3+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow x.e^x.f\left(x\right)=x^3\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{4}{e^2}\)
4.
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc (P)
(Q) nhận \(\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}};\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-3;2;1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình (Q):
\(-3x+2\left(y+1\right)+1\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow-3x+2y+z=0\)
d' là hình chiếu của d lên (P) nên là giao tuyến của (P) và (Q) có pt thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z+3=0\\-3x+2y+z=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow d'\) đi qua \(A\left(0;3;-6\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u_{d'}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(1;4;-5\right)\) là 1 vtcp
Phương trình chính tắc d': \(\frac{x}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+6}{-5}\)
1/
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=x^2+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)lnx|^3_e-\int\limits^3_e\left(x+1\right)dx=\left(x^2+x\right)lnx|^3_e-\left(\frac{1}{2}x^2+x\right)|^3_e\)
\(=12ln3-\frac{e^2}{2}-\frac{15}{2}\)
2/
Đặt \(z=x+yi\)
\(\left|x+1+\left(y-1\right)i\right|=\left|x+\left(y-3\right)i\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=x^2+\left(y-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x+4y-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{2}-2y\)
Ta có: \(A=\left|z-i\right|=\left|x+\left(y-1\right)i\right|=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{7}{2}-2y\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{5y^2-16y+\frac{53}{4}}=\sqrt{5\left(y-\frac{8}{5}\right)^2+\frac{9}{20}}\ge\sqrt{\frac{9}{20}}\)
\(\Rightarrow\left|z-i\right|_{min}=\sqrt{\frac{9}{20}}\)
