Bài 6: Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Lê Anh Ngọc

1) Giải các PT sau:

a)\(\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+11-6\sqrt{x+2}}=1\)

b)\(x^2-10x+27=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\)

c)\(x^2-2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4=0\)

d)\(x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)

e)\(2x+3=2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+1}\)

f)\(2+\sqrt{3-8x}=6x+\sqrt{4x-1}\)

Lê Thị Thục Hiền
30 tháng 8 2019 lúc 12:57

a,\(\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+11-6\sqrt{x+2}}=1\) (*)(đk \(x\ge-2\))

<=> \(\sqrt{\left(x+2\right)-4\sqrt{x+2}+4}+\sqrt{\left(x+2\right)-6\sqrt{x+2}+9}\)=1

<=> \(\sqrt{\left(\sqrt{x+2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x+2}-3\right)^2}=1\)

<=> \(\left|\sqrt{x+2}-2\right|+\left|\sqrt{x+2}-3\right|\)=1 (1)

TH1: \(0\le\sqrt{x+2}< 2\)

Từ (1) =>\(2-\sqrt{x+2}+3-\sqrt{x+2}=1\)

<=> \(5-2\sqrt{x+2}=1\) <=> \(2\sqrt{x+1}=4\) <=> \(\sqrt{x+1}=2\)

<=> \(x+1=4\) <=> x=3(không t/m \(\sqrt{x+2}\le2\))

TH2 : \(2\le\sqrt{x+2}\le3\)

Từ (1) =>\(\sqrt{x+2}-2+3-\sqrt{x+2}=1\)

<=> \(1=1\) (luôn đúng)

Từ TH2 <=> 4\(\le x+2\le9\) <=> \(2\le x\le7\)

TH3 \(\sqrt{x+2}>3\)

Từ (1) => \(\sqrt{x+2}-2+\sqrt{x+2}-3=1\)

<=> \(2\sqrt{x+2}=6\) <=> \(\sqrt{x+2}=3\) <=> \(x+2=9\) <=> x=7 (không t/m \(\sqrt{x+2}>3\))

Vậy pt (*) có tập nghiệm S=\(\left\{2\le x\le7\right\}\)

b, \(x^2-10x+27=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\) (*) (đk :\(4\le x\le6\))

Vs a,b \(\ge0\) ta có \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)(tự CM nha)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng bđt trên ta có: \(\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\le\sqrt{2\left(6-x+x-4\right)}=\sqrt{2.2}=2\)

<=> \(\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}\le2\)(1)

Lại có: \(x^2-10x+27=x^2-10x+25+2=\left(x-5\right)^2+2\ge2\)

<=> \(x^2-10x+27\ge2\) (2)

Từ (1),(2) => Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}6-x=x-4\\x-5=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}6+4=2x\\x=5\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=5\\x=5\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy pt (*) có tập nghiệm S=\(\left\{5\right\}\)

c, \(x^2-2x-x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4=0\)(*) (đk: x\(\ge0\))

<=> \(x\left(x-2\right)-\sqrt{x}\left(x-2\right)-4\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

<=> \(\left(x-\sqrt{x}\right)\left(x-2\right)-4\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

<=> \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-2\right)-4\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-1\right)\left[\sqrt{x}\left(x-2\right)-4\right]=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x}\left(x-2\right)-4=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{x}\left(x-2\right)=4\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x\left(x-2\right)^2=16\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x\left(x^2-4x+4\right)-16=0\end{matrix}\right.\) <=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^3-4x^2+4x-16=0\end{matrix}\right.\)<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2\left(x-4\right)+4\left(x-4\right)=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(x^2+4\right)\left(x-4\right)=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x-4=0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=4\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy pt (*) có tập nghiệm S=\(\left\{1;4\right\}\)

Bình luận (1)
Nguyễn Bá Minh Hiếu
31 tháng 8 2019 lúc 15:24
https://i.imgur.com/HSKkUXX.png
Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Mo Mi Sa
Xem chi tiết
....
Xem chi tiết
Tô Thu Huyền
Xem chi tiết
đặng thị phương thảo
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
Hưng Phúc
Xem chi tiết
hoàng thiên
Xem chi tiết
Vũ Lê Mai Hương
Xem chi tiết
Bich Hong
Xem chi tiết