Với mọi số thực a;b dương và n nguyên dương, ta có:
\(\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\ge\frac{a+b}{2}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(2a^{n+1}+2b^{n+1}\ge\left(a+b\right)\left(a^n+b^n\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{n+1}-a^nb+b^{n+1}-b^na\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^n-b^n\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng nó cho bài toán trên là xong
Cho x, y thoả mãn:\(\sqrt{x+2019}+\sqrt{2020-x}-\sqrt{2019-x}=\sqrt{y+2019}+\sqrt{2020-y}-\sqrt{2019-y}\)
Cm :x=y
Giải hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\\x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=3^{2020}\end{matrix}\right.\)
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2020
Chứng minh: \(\dfrac{2020}{x^2+y^2}+\dfrac{2020}{y^2+z^2}+\dfrac{2020}{z^2+x^2}\le\dfrac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\)
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn \(x+y+z=3\) và \(x^4+y^4+z^4=3xyz\)
Tính giá trị của \(M=x^{2018}+y^{2019}+z^{2020}\)
cho x,y,z > 0 và x+y+z=2020 tìm GTLN của : \(\sqrt{x+\frac{yz}{2020}}+\sqrt{y+\frac{xz}{2020}}+\sqrt{z+\frac{xy}{2020}}\)
Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
CMR: \(x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=0\)
giải phương trình : \(\frac{\sqrt{x-2018}-1}{x-2018}+\frac{\sqrt{y-2019}-1}{y-2019}+\frac{\sqrt{z-2029}-1}{z-2020}=\frac{3}{4}\)
tìm nghiệm nguyên của pt : \(2x^2+4x=19-3y^2\)
cm với mọi số tự nhiên n thì : \(a_n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương
Tim GTLN: P= \(\frac{\sqrt{x-2019}}{2019x}+\frac{\sqrt{y-2020}}{2020y}\)
cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M= \(\frac{x}{x+\sqrt{2019+yz}}\) +\(\frac{y}{y+\sqrt{2019+zx}}\) + \(\frac{z}{z+\sqrt{2019+xy}}\)
ai biết làm thỉ chỉ em với nha, em cám ơn nhiều
