1) Cho x,y,z > -1 thỏa mãn:
\(x^3+y^3+z^3\)≥ \(x^2+y^2+z^2\)
CMR: \(x^5+y^5+z^5\)≥ \(x^2+y^2+z^2\)
2. Cho a,b,c ϵ {0;1;2} và a+b+c=3
CMR: \(a^2+b^2+c^2\) ≤ 5
3. Cho \(a_1,a_2,..,a_9\in\left[-1;1\right]\) sao cho \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9=0\)
CMR: \(a^3_1+a^3_2+...+a^3_9\le3\)
4. Cho \(ab\ge1\). CMR: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{1+ab}\)
5. Cho a,b,c >0. CMR:
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\le3\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
5/ Tưỡng dễ ăn = sos + bđt phụ ai ngờ....hic...
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}-\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)-bc\left(b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)}-\frac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\)
Ai ngờ nổi khi không dùng BĐT phụ lại dễ hơn cái kia chứ -_-
Ây za,nhầm dòng cuối cùng xíu ạ:
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ca\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\ge0\left(\text{đúng}\right)\) -_- đánh thiếu một chút lại ra nông nỗi -_-
Bài 1:
Xét các hiệu sau:
\(M=x^3+y^3+z^3-(x^2+y^2+z^2)=x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)\)
\(N=x^4+y^4+z^4-(x^3+y^3+z^3)=x^3(x-1)+y^3(y-1)+z^3(z-1)\)
Lấy $N-M$:
\( N-M=\sum x^2(x-1)(x-1)=\sum x^2(x-1)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \sum x^4-2\sum x^3+\sum x^2\geq 0\)
\(\Rightarrow \sum x^4\geq 2\sum x^3-\sum x^2(*)\)
\(P=x^5+y^5+z^5-(x^4+y^4+z^4)=x^4(x-1)+y^4(y-1)+z^4(z-1)\)
Lấy $P-M$
\(P-M=\sum x^2(x-1)(x^2-1)=\sum x^2(x-1)^2(x+1)\geq 0, \forall x,y,z>-1\)
\(\Leftrightarrow \sum x^5-\sum x^4-\sum x^3+\sum x^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \sum x^5\geq \sum x^4+\sum x^3-\sum x^2\). Kết hợp với (*) và điều kiện ban đầu suy ra:
\(\sum x^5\geq 2\sum x^3-\sum x^2+\sum x^3-\sum x^2=3\sum x^3-2\sum x^2\geq \sum x^2\)
Bài 2:
Bạn có chắc đề đúng không
\(a,b,c\in\left\{0;1;2\right\}\) và \(a+b+c=3\Rightarrow (a,b,c)=(0,1,2)\) hoặc hoán vị, nghĩa là biết luôn giá trị của $a,b,c$ rồi thì thay $a^2+b^2+c^2=5$ luôn rồi.
Bài 4:
Xét hiệu:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{2}{ab+1}=\frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}-\frac{2}{ab+1}\)
\(=\frac{(a^2+b^2+2)(ab+1)-2(a^2b^2+a^2+b^2+1)}{(ab+1)(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\frac{ab(a^2+b^2+2)-2a^2b^2-(a^2+b^2)}{(ab+1)(a^2+1)(b^2+1)}\)
\(=\frac{ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)}{(ab+1)(a^2+1)(b^2+1)}=\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(a^2+1)(b^2+1)(ab+1)}\)
\(\geq 0, \forall ab\geq 1\)
Do đó: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $ab=1$
Bài 2:
Vì $a,b,c\in [0;2]$ nên $(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0$
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8\leq 0\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4(a+b+c)-8+abc=4+abc\geq 4\) (do $a,b,c\geq 0$)
Từ đây ta suy ra:
\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=9-2(ab+bc+ac)\leq 9-4=5\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị của chúng.
