1) Cho x,y,a,b là các số thực thỏa mãn :\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}\) và \(x^2+y^2=1\)
Chứng minh \(\frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1003}}????\)
2) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1/ Ta có: \(\frac{x^4}{1a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow1bx^4\left(a+b\right)+ay^4\left(a+b\right)=ab\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ay^2-bx^2\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{1a}=\frac{y^2}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2006}}{1a^{1003}}=\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1003}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1003}}\)
