\(VT=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\)
\(=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{ca^2}{c^2+a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
\(VT\ge a-\frac{ab^2}{2ab}+b-\frac{bc^2}{2bc}+c-\frac{ca^2}{2ca}\)
\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}\)
\(=\frac{a+b+c}{2}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
1/ Ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a^3+ab^2-ab^2}{a^2+b^2}\\ =\frac{a\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}-\frac{ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
(Áp dụng btđ \(a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\))
Tương tự ta có: \(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2};\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng 3 vế lại, ta được
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge a-\frac{b}{2}+b-\frac{c}{2}+c-\frac{a}{2}\\ =\frac{2a-b+2b-c+2c-a}{2}=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''=" xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Đường thẳng qua $K$ song song với $AB$ cắt $AD, AC, BC$ lần lượt tại $M,N,P$
Theo định lý Ta-let ta thấy:
\(\frac{MK}{AB}=\frac{DM}{DA}=\frac{CP}{CB}=\frac{NP}{AB}\Rightarrow MK=NP\)
Vậy ta chỉ cần tìm điểm $K$ sao cho $KM=KN$ là được.
Kéo dài $AK$ cắt $DC$ tại $T$.
Theo định lý Ta-let:
\(\frac{MK}{DT}=\frac{AK}{AT}=\frac{KN}{CT}\). Do đó để $KM=KN$ thì $DT=CT$ hay $T$ là trung điểm của cạnh đáy $CD$.
Vậy $K$ sẽ được xác định là giao điểm của $BD$ với $AT$ trong đó $T$ là trung điểm của $DC$.
Trần Thanh Phương, Nguyễn Văn Đạt, ?Amanda?, svtkvtm,
