Question

1) Cho \(a^2+a+1=0\). Tính giá trị biểu thức P=\(a^{2013}+\frac{1}{a^{2013}}\)

b) Cho 2 số x;y thoa man : \(x^2+x^2y^2-2y=0\) và \(x^3+2y^2-4y+3=0\). Tính giá trị của biểu thức Q=\(x^2+y^2\)

Answer 1

1) a thỏa mãn: a² + a + 1 = 0, rõ ràng a khác 0. Chia cả 2 vế cho a ta được: \(a+\frac{1}{a}=-1\)

Mặt khác ta có: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^3=-1\Rightarrow a^3+3\cdot\left(a+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{a^3}=-1\Rightarrow a^3+\frac{1}{a^3}=2\)\(\Rightarrow\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)^2=4\Rightarrow a^6+\frac{1}{a^6}=2\)\(\Rightarrow\left(a^6+\frac{1}{a^6}\right)\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)=4\Rightarrow a^9+\frac{1}{a^9}+a^3+\frac{1}{a^3}=4\Rightarrow a^9+\frac{1}{a^9}=2\)... \(\Rightarrow a^{3k}+\frac{1}{a^{3k}}=2\)\(\Rightarrow a^{2013}+\frac{1}{a^{2013}}=2\)

2) Từ: \(x^2+x^2y^2-2y=0\Rightarrow x^2\left(y^2+1\right)=2y\Rightarrow x^2=\frac{2y}{y^2+1}\)

Với mọi y thì: \(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow2y\le y^2+1\Leftrightarrow\frac{2y}{y^2+1}\le1\)Do đó \(x^2=\frac{2y}{y^2+1}\le1\Rightarrow-1\le x\le1\)(1)

Mặt khác: \(x^3+2y^2-4y+3=0\Leftrightarrow x^3+1+2\left(y-1\right)^2=0\)(2)

Từ (1) => \(x^3+1\ge0\forall x\Rightarrow VT\left(2\right)\ge VP\left(2\right)\forall x;y\)

Để TM (2) thì dấu "=" xảy ra, khi đó x = -1; y = 1

và suy ra \(Q=x^2+y^2=2\)