Đại số lớp 8

Lê Ngọc Kiều Ly

1 . a) Chứng minh rằng số n2 +2014 với n nguyên dương không là số chính phương.

b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5.

Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 1 + ab

Phùng Khánh Linh
2 tháng 12 2016 lúc 19:50

a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014

=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương

b) Với 2 số a, b dương:

Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1

<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)

<=> a3 + b3 ≤ a + b

<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)

<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6

<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b

<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0

<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
No ri do
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
kuchiki rukia
Xem chi tiết
Hải Ninh
Xem chi tiết
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
1+1=2.=)1+2=3
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Vân Anh
Xem chi tiết
Nguyễn PHương Thảo
Xem chi tiết