Question

Answer 1

Xét tam giác $ABM$:

Theo bất đẳng thức tam giác:

$AB < AM + MB$

$\Rightarrow AB < AM + \dfrac{BC}{2}$

$\Rightarrow AM > AB - \dfrac{BC}{2}$ \hfill (1)

Xét tam giác $ACM$:

$AM < AC + CM$

$\Rightarrow AM < AC + \dfrac{BC}{2}$ \hfill (2)

Lại có trong tam giác $ABC$:

$BC < AB + AC$

$\Rightarrow \dfrac{BC}{2} < \dfrac{AB + AC}{2}$

Thay vào (1):

$AM > AB - \dfrac{AB + AC}{2}$

$AM > \dfrac{2AB - AB - AC}{2}$

$AM > \dfrac{AB - AC}{2}$ (*)

Từ (2):

$AM < AC + \dfrac{AB + AC}{2}$

$AM < \dfrac{AB + 3AC}{2}$

Mà $AB > AC \Rightarrow \dfrac{AB + AC}{2} < \dfrac{AB + 3AC}{2}$

$\Rightarrow AM < \dfrac{AB + AC}{2}$ (**)

Từ (*) và (**) => đpcm