Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D E F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC CA AB. M là giao điểm của AI và BC, H là giao điểm của AI và DI, K là giao điểm của AI và EF.
a
Do I là tâm nội tiếp nên ID vuông góc với BC và IE vuông góc với CA, IF vuông góc với AB. Ta có EF là tiếp tuyến tại E và F nên IE = IF và I E F là tam giác cân tại I. Mặt khác K thuộc EF và H thuộc DI, cả hai đều nằm trên AI nên xét các góc tạo bởi AI với các đường vuông góc tương ứng suy ra hai góc IKM và IHD bằng nhau.
b
Xét tam giác IHD và IAD ta có ID vuông góc với BC nên D là chân đường cao, từ đó suy ra các tam giác đồng dạng liên quan đến AI. Do đó ta có hệ thức ID bình phương bằng IH nhân IA.
Mặt khác xét các góc tạo bởi AD và MK ta thấy AD cùng vuông góc với DI còn MK song song với tiếp tuyến tại D nên suy ra AD song song với MK.
c
Gọi G là giao điểm của AK và BC. Từ AD song song MK suy ra tứ giác ADKM là hình thang. Xét các tam giác tạo bởi AI với các đoạn song song ta suy ra G là trung điểm của AD. Do đó đường thẳng GI đi qua trung điểm của đoạn AD.
Bài 1 Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC CA AB lần lượt tại D E F. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. a) Chứng minh các đoạn bằng nhau Vì (I) là đường tròn nội tiếp nên từ một điểm ngoài đường tròn, các tiếp tuyến đến đường tròn bằng nhau. Từ A kẻ các tiếp tuyến AE và AF ⇒ AE = AF Tương tự BD = BF CD = CE Mặt khác ta có AE + EC = AC = b AF + FB = AB = c BD + DC = BC = a Giải hệ AE + CE = b AF + FB = c BD + DC = a Suy ra AE = AF = (b + c − a) / 2 BD = BF = (c + a − b) / 2 CD = CE = (a + b − c) / 2 b) Chứng minh NG / HC = BD / CD và M là trung điểm FN Gọi G là giao điểm của AN và BC. Qua C kẻ CH ∥ AG cắt DE tại H. Xét tam giác ADN Vì FN ∥ BC nên M là giao điểm của FN với AD ⇒ M là trung điểm của FN (theo định lí đường trung bình). Tiếp theo xét hai tam giác NGH và BDC Ta có NG ∥ BD HC ∥ CD ⇒ các cặp góc tương ứng bằng nhau ⇒ hai tam giác đồng dạng Suy ra NG / HC = BD / CD Kết luận a) AE = AF = (b + c − a) / 2 BD = BF = (c + a − b) / 2 CD = CE = (a + b − c) / 2 b) NG / HC = BD / CD M là trung điểm của FN
