a: M đối xứng D qua AB
=>AB là đường trung trực của MD
=>AB⊥MD tại E và E là trung điểm của MD
N đối xứng D qua AC
=>AC là đường trung trực của ND
=>AC⊥ND tại trung điểm của ND
=>AC⊥ND tại F và F là trung điểm của DN
Ta có: AC⊥ND
AB⊥CA
Do đó; ND//AB
Ta có: AB⊥MD
AB⊥CA
Do đó: MD//CA
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AC
Do đó; E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AEDF có \(\hat{AED}=\hat{AFD}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
Xét tứ giác ADBM có
E là trung điểm chung của AB và DM
=>ADBM là hình bình hành
Hình bình hành ADBM có AB⊥MD
nên ADBM là hình thoi
b: Xét tứ giác ADCN có
F là trung điểm chung của AC và DN
=>ADCN là hình bình hành
=>AN//CD và AN=CD
ADBM là hình thoi
=>AM//BD và AM=BD
AM//BD
=>AM//BC
AN//CD
=>AN//BC
mà AM//BC
và AM,AN có điểm chung là A
nên M,A,N thẳng hàng
Ta có; AM=BD
AN=CD
mà BD=CD
nên AM=AN
=>A là trung điểm của MN
c: Xét ΔABC có
E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>EF là đường trung bình của ΔABC
=>EF//BC
=>EF//DH
ΔHAC vuông tại H
mà HF là đường trung tuyến
nên HF=FA
mà FA=DE
nên HF=DE
Xét tứ giác DHEF có
DH//EF
DE=HF
Do đó: DHEF là hình thang cân
d: Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE=AF
=>AB=AC
