Phân tích bài toán Đề bài: Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = sin⁴x + cos⁴x + sinxcosx đạt được bằng a/b với a, b ∈ N (số tự nhiên), a/b là phân số tối giản. Tính a + b? Dạng toán: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác. Phương pháp chung là biến đổi biểu thức lượng giác về một dạng đơn giản hơn, thường là đưa về một hàm số bậc hai với một ẩn phụ là sinx, cosx, sin(2x)... Bài giải chi tiết Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số, chúng ta sẽ thực hiện các bước biến đổi sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức của hàm số Hàm số đã cho là: y = sin⁴x + cos⁴x + sinxcosx Biến đổi cụm sin⁴x + cos⁴x: Ta áp dụng hằng đẳng thức quen thuộc A² + B² = (A + B)² - 2AB. Với A = sin²x và B = cos²x, ta có: sin⁴x + cos⁴x = (sin²x)² + (cos²x)² = (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x Mà ta luôn có công thức lượng giác cơ bản: sin²x + cos²x = 1. Do đó: sin⁴x + cos⁴x = 1² - 2sin²xcos²x = 1 - 2(sinxcosx)² Biến đổi cụm sinxcosx: Ta sử dụng công thức nhân đôi: sin(2x) = 2sinxcosx. Suy ra: sinxcosx = (1/2)sin(2x). Thay thế vào biểu thức y: Bây giờ, ta thay các biểu thức vừa rút gọn vào hàm số y ban đầu: y = [1 - 2(sinxcosx)²] + sinxcosx y = 1 - 2 * [(1/2)sin(2x)]² + (1/2)sin(2x) y = 1 - 2 * [1/4 * sin²(2x)] + (1/2)sin(2x) y = 1 - (1/2)sin²(2x) + (1/2)sin(2x) y = -(1/2)sin²(2x) + (1/2)sin(2x) + 1 Bước 2: Đặt ẩn phụ và tìm giá trị lớn nhất Biểu thức của y bây giờ đã gọn hơn và chỉ phụ thuộc vào sin(2x). Để dễ dàng tìm giá trị lớn nhất, ta đặt ẩn phụ: Đặt t = sin(2x) Vì giá trị của hàm sin luôn nằm trong đoạn [-1, 1] với mọi góc x, nên ta có điều kiện cho t: -1 ≤ t ≤ 1. Viết lại hàm số theo t: Hàm số y trở thành một hàm số bậc hai theo biến t: f(t) = -(1/2)t² + (1/2)t + 1, với t ∈ [-1, 1]. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai f(t): Đây là một parabol có hệ số a = -1/2 < 0, nên bề lõm của parabol quay xuống dưới. Do đó, giá trị lớn nhất của nó sẽ đạt tại đỉnh. Tọa độ đỉnh của parabol f(t) = at² + bt + c là t_đỉnh = -b / (2a). Áp dụng vào hàm số của chúng ta: t_đỉnh = -(1/2) / (2 * (-1/2)) = -(1/2) / (-1) = 1/2. Ta kiểm tra xem t_đỉnh = 1/2 có nằm trong đoạn [-1, 1] hay không. Rõ ràng 1/2 thuộc [-1, 1]. Vì vậy, giá trị lớn nhất của hàm số f(t) trên đoạn [-1, 1] chính là giá trị của hàm số tại t = 1/2. Tính giá trị lớn nhất: y_max = f(1/2) = -(1/2)*(1/2)² + (1/2)*(1/2) + 1 y_max = -(1/2)*(1/4) + 1/4 + 1 y_max = -1/8 + 2/8 + 8/8 y_max = 9/8 Bước 3: Kết luận và tính toán theo yêu cầu đề bài Giá trị lớn nhất của hàm số là 9/8. Theo đề bài, giá trị này bằng a/b, là một phân số tối giản và a, b là số tự nhiên. Phân số 9/8 đã tối giản. Vậy ta có: a = 9 và b = 8. Cuối cùng, ta tính tổng a + b: a + b = 9 + 8 = 17. Đáp số: a + b = 17. Lời khuyên Ghi nhớ công thức: Đối với các bài toán lượng giác, việc thuộc lòng các công thức cơ bản và hệ quả của chúng là cực kỳ quan trọng. Trong bài này, hai "chìa khóa" là: sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2sin²xcos²x sin(2x) = 2sinxcosx Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi bạn biến đổi một biểu thức lượng giác phức tạp và thấy nó có thể được biểu diễn qua một hàm lượng giác duy nhất (như sin(2x) trong bài này), hãy nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ. Việc này sẽ chuyển bài toán về dạng đại số (hàm bậc hai, bậc ba...) quen thuộc hơn rất nhiều. Lưu ý điều kiện của ẩn phụ: Đây là bước cực kỳ quan trọng mà nhiều bạn hay bỏ sót. Khi đặt t = sin(u) hoặc t = cos(u), luôn phải kèm theo điều kiện -1 ≤ t ≤ 1. Nếu không có điều kiện này, bạn có thể tìm ra một giá trị lớn nhất/nhỏ nhất sai.
