1B. Cho tam giác \( ABC \). Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông \( ABDE \) và \( ACFG \). Gọi \( Q, N \) lần lượt là giao điểm các đường chéo của hình vuông \( ABDE \) và hình vuông \( ACFG \); gọi \( M, P \) lần lượt là trung điểm \( BC \) và \( EG \). Chứng minh rằng tứ giác \( MNPQ \) là hình vuông.
ABDE là hình vuông
=>AD cắt BE tại trung điểm của mỗi đường và AD⊥BE
=>Q là trung điểm chung của AD và BE và AD⊥BE tại Q
ACFG là hình vuông
=>AF⊥CG tại trung điểm của mỗi đường
=>AF⊥CG tại N và N là trung điểm chung của AF và CG
Gọi O là giao điểm của EC và BG
Ta có: \(\hat{EAC}=\hat{EAB}+\hat{BAC}=90^0+\hat{BAC}\)
\(\hat{BAG}=\hat{BAC}+\hat{GAC}=\hat{BAC}+90^0\)
Do đó: \(\hat{EAC}=\hat{BAG}\)
Xét ΔEAC và ΔBAG có
EA=BA
\(\hat{EAC}=\hat{BAG}\)
AC=AG
Do đó: ΔEAC=ΔBAG
=>\(\hat{AEC}=\hat{ABG}\)
=>\(\hat{AEO}=\hat{ABO}\)
=>AEBO là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EAB}=\hat{EOB}\)
=>\(\hat{EOB}=90^0\)
=>EC⊥BG tại O
ΔEAC=ΔBAG
=>EC=BG
Xét ΔEBG có
P,Q lần lượt là trung điểm của EG,EB
=>PQ là đường trung bình của ΔEBG
=>PQ//BG và \(PQ=\frac{BG}{2}\)
Xét ΔCBG có
M,N lần lượt là trung điểm của CB,CG
=>MN là đường trung bình của ΔCBG
=>MN//BG và \(MN=\frac{BG}{2}\)
Xét ΔGEC có
P,N lần lượt là trung điểm của GE,GC
=>PN là đường trung bình của ΔGEC
=>PN//EC và \(PN=\frac{EC}{2}\)
Ta có: MN//BG
PQ//BG
Do đó: MN//PQ
Ta có: \(MN=\frac{BG}{2}\)
\(PQ=\frac{BG}{2}\)
Do đó: MN=PQ
Ta có: PN//EC
EC⊥BG
Do đó: PN⊥BG
mà BG//PQ
nên PN⊥PQ
Ta có: \(PN=\frac{EC}{2}\)
\(PQ=\frac{BG}{2}\)
mà EC=BG
nên PN=PQ
Xét tứ giác MNPQ có
MN//PQ
MN=PQ
Do đó: MNPQ là hình bình hành
Hình bình hành MNPQ có PN=PQ
nên MNPQ là hình thoi
Hình thoi MNPQ có PN⊥PQ
nên MNPQ là hình vuông
