Bài III (2,5 điểm). Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). Gọi \( M \) là một điểm trên cạnh \( BC \) ( \( M \) khác \( B \) và \( C \) ). Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \( M \) xuống \( AB \) và \( AC \).
1) Tứ giác \( ADME \) là hình gì? Vì sao?
2) Lấy điểm \( I \) sao cho \( A \) là trung điểm của \( DI \); điểm \( K \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( EK \). Chứng minh \( EI = DK \) và \( EI \) song song với \( DK \);
3) Chứng minh ba đường thẳng \( IK, DE, AM \) cùng đi qua một điểm.
Bài IV: (0,5 điểm). Tìm GTNN của biểu thức:
\[ A = 2x^2 - 4x + 2xy + y^2 + 2023 \]
Bài IV:
\(A=2x^2-4x+2xy+y^2+2023\)
\(=x^2+2xy+y^2+x^2-4x+4+2019\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-2\right)^2+2019\ge2019\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}x+y=0\\ x-2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=2\\ y=-x=-2\end{cases}\)
Bài III:
1: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADME là hình chữ nhật
2; Ta có: ADME là hình chữ nhật
=>EM//DA và EM=DA
EM//DA
=>EK//DI
EM=DA
mà EK=2EM(M là trung điểm của EK)
và DI=2DA(A là trung điểm của DI)
nên EK=DI
3: Xét tứ giác EKDI có
EK//DI
EK=DI
Do đó: EKDI là hình bình hành
=>ED cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)
ADME là hình chữ nhật
=>AM cắt ED tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra AM,ED,KI đồng quy
