Question

Answer 1

Ta cần giải phương trình: 1 𝑥 + 4 + 5 𝑥 + 5 = 4. x+4 1 ​ ​ + x+5 5 ​ ​ =4. Bước 1. Điều kiện xác định Mẫu số khác 0: 𝑥 + 4 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ − 4 x+4  =0⇒x  =−4, 𝑥 + 5 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ − 5 x+5  =0⇒x  =−5. Bên trong căn dương: 𝑥 + 4 > 0 ⇒ 𝑥 > − 4 x+4>0⇒x>−4, 𝑥 + 5 > 0 ⇒ 𝑥 > − 5 x+5>0⇒x>−5. ⇒ Điều kiện: 𝑥 > − 4 x>−4. Bước 2. Đặt ẩn phụ Đặt 𝑎 = 1 𝑥 + 4 , 𝑏 = 5 𝑥 + 5 . a= x+4 1 ​ ​ ,b= x+5 5 ​ ​ . Phương trình: 𝑎 + 𝑏 = 4. (1) a+b=4. (1) Ta có: 𝑎 2 = 1 𝑥 + 4 ⇒ 𝑥 + 4 = 1 𝑎 2 . a 2 = x+4 1 ​ ⇒x+4= a 2 1 ​ . 𝑏 2 = 5 𝑥 + 5 ⇒ 𝑥 + 5 = 5 𝑏 2 . b 2 = x+5 5 ​ ⇒x+5= b 2 5 ​ . Suy ra: 𝑥 = 1 𝑎 2 − 4 = 5 𝑏 2 − 5. x= a 2 1 ​ −4= b 2 5 ​ −5. Bước 3. Liên hệ giữa 𝑎 a và 𝑏 b Từ 2 biểu thức: 1 𝑎 2 − 4 = 5 𝑏 2 − 5. a 2 1 ​ −4= b 2 5 ​ −5. 1 𝑎 2 + 1 = 5 𝑏 2 . a 2 1 ​ +1= b 2 5 ​ . 1 + 𝑎 2 𝑎 2 = 5 𝑏 2 . a 2 1+a 2 ​ = b 2 5 ​ . 𝑏 2 = 5 𝑎 2 1 + 𝑎 2 . (2) b 2 = 1+a 2 5a 2 ​ . (2) Bước 4. Thay vào (1) 𝑎 + 𝑏 = 4 ⇒ 𝑏 = 4 − 𝑎 . a+b=4⇒b=4−a. Bình phương: ( 4 − 𝑎 ) 2 = 𝑏 2 = 5 𝑎 2 1 + 𝑎 2 . (4−a) 2 =b 2 = 1+a 2 5a 2 ​ . Bước 5. Giải phương trình ( 16 − 8 𝑎 + 𝑎 2 ) ( 1 + 𝑎 2 ) = 5 𝑎 2 . (16−8a+a 2 )(1+a 2 )=5a 2 . Khai triển: 16 + 16 𝑎 2 − 8 𝑎 − 8 𝑎 3 + 𝑎 2 + 𝑎 4 = 5 𝑎 2 . 16+16a 2 −8a−8a 3 +a 2 +a 4 =5a 2 . 𝑎 4 − 8 𝑎 3 + 12 𝑎 2 − 8 𝑎 + 16 = 0. (3) a 4 −8a 3 +12a 2 −8a+16=0. (3) Bước 6. Thử nghiệm nghiệm Thử 𝑎 = 2 a=2: 2 4 − 8 ( 8 ) + 12 ( 4 ) − 16 + 16 = 16 − 64 + 48 − 16 + 16 = 0. 2 4 −8(8)+12(4)−16+16=16−64+48−16+16=0. ⇒ 𝑎 = 2 a=2 là nghiệm. Chia đa thức (3) cho ( 𝑎 − 2 ) (a−2): 𝑎 4 − 8 𝑎 3 + 12 𝑎 2 − 8 𝑎 + 16 = ( 𝑎 − 2 ) ( 𝑎 3 − 6 𝑎 2 + 0 𝑎 − 8 ) . a 4 −8a 3 +12a 2 −8a+16=(a−2)(a 3 −6a 2 +0a−8). Lại thử trong bậc 3: 𝑎 = 2 a=2 → 8 − 24 + 0 − 8 = − 24 ≠ 0 8−24+0−8=−24  =0. Thử 𝑎 = − 2 a=−2: ( − 8 ) − 24 − 0 − 8 = − 40 ≠ 0 (−8)−24−0−8=−40  =0. Thử 𝑎 = 1 a=1: 1 − 6 − 8 = − 13 ≠ 0 1−6−8=−13  =0. Thử 𝑎 = 4 a=4: 64 − 96 − 8 = − 40 ≠ 0 64−96−8=−40  =0. Ta chỉ có nghiệm 𝑎 = 2 a=2. Bước 7. Tìm 𝑥 x Với 𝑎 = 2 a=2: 𝑎 = 1 𝑥 + 4 = 2 ⇒ 1 𝑥 + 4 = 4. a= x+4 1 ​ ​ =2⇒ x+4 1 ​ =4. 𝑥 + 4 = 1 4 ⇒ 𝑥 = − 15 4 = − 3.75. x+4= 4 1 ​ ⇒x=− 4 15 ​ =−3.75. Điều kiện: 𝑥 > − 4 x>−4, thỏa mãn. Bước 8. Kiểm tra 1 𝑥 + 4 = 1 0.25 = 4 = 2 , x+4 1 ​ ​ = 0.25 1 ​ ​ = 4 ​ =2, 5 𝑥 + 5 = 5 1.25 = 4 = 2 , x+5 5 ​ ​ = 1.25 5 ​ ​ = 4 ​ =2, Tổng = 4. Đúng. ✅ Kết luận: Nghiệm của phương trình là 𝑥 = − 15 4 x=− 4 15 ​ .

Answer 2