Ta có quãng đường của P là tích phân của vận tốc, nên x_P(t) = ∫(12t^3 + 9t^2 + 2kt)dt = 3t^4 + 3t^3 + kt^2, còn x_Q(t) = ∫(4t^3 + 45t^2)dt = t^4 + 15t^3, do hai chất điểm cùng xuất phát từ O nên hằng số tích phân bằng 0
Điều kiện gặp nhau là x_P(t) = x_Q(t)
⇔ 3t^4 + 3t^3 + kt^2 = t^4 + 15t^3
⇔ 2t^4 - 12t^3 + kt^2 = 0
⇔ t^2(2t^2 - 12t + k) = 0
Vì sau khi xuất phát thì t > 0, nên số lần gặp nhau sau lúc bắt đầu phụ thuộc vào phương trình
2t^2 - 12t + k = 0
Đề bài cho hai chất điểm chỉ gặp nhau đúng một lần sau khi xuất phát, nên phương trình này phải có nghiệm kép
Δ = (-12)^2 - 4.2.k = 144 - 8k = 0
⇔ k = 18
Khi đó x_P(t) = 3t^4 + 3t^3 + 18t^2
Quãng đường P đi từ t = 2 đến t = 5 là
x_P(5) - x_P(2)
= (3.5^4 + 3.5^3 + 18.5^2) - (3.2^4 + 3.2^3 + 18.2^2)
= (1875 + 375 + 450) - (48 + 24 + 72)
= 2700 - 144
= 2556
Đáp án: 2556 m
