Question

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng 6 và hai parabol \(P_1, P_2\) lần lượt có đỉnh nằm tại \(A\) và \(D\) và cùng đi qua trung điểm của \(BC\) như hình vẽ. Một hình chữ nhật \(MNPQ\) có cạnh \(MN\) nằm trên đoạn \(AD\) và hai đỉnh \(P\) và \(Q\) lần lượt nằm trên \(P_1\) và \(P_2\) như hình vẽ. Xác định diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(MNPQ\). (làm tròn đến hàng phần chục)

Answer 1

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho: \(B\left(0;0\right)A\left(0;6\right);C\left(6;0\right);D\left(6;6\right)\)

\(I\) là trung điểm \(BC\Rightarrow I\left(\dfrac{0+6}{2};\dfrac{0+0}{2}\right)=\left(3;0\right)\)

\(A\left(0;6\right)\in\left(P_1\right)\Rightarrow\left(P_1\right):y=ax^2+6\)

\(I\left(3;0\right)\in\left(P_1\right)\Rightarrow0=9a+6\Rightarrow a=-\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\left(P_1\right):y=-\dfrac{2}{3}x^2+6\)

Tương tự \(\left(P_2\right):y=-\dfrac{2}{3}\left(x-6\right)^2+6\)

\(M\left(a;6\right)\left(0\le a\le6\right);N\left(6-a;6\right)\)

\(Q\left(a;-\dfrac{2}{3}a^2+6\right)\in\left(P_1\right);P\left(6-a;-\dfrac{2}{3}a^2+6\right)\in\left(P_2\right)\)

\(MN=6-2a;MQ=\dfrac{2}{3}a^2\)

\(S_{MNPQ}=S\left(a\right)=MN.MQ=\left(6-2a\right).\dfrac{2}{3}a^2=\dfrac{4}{3}\left(3a^2-a^3\right)\)

\(S'\left(a\right)=\dfrac{4}{3}\left(6a-3a^2\right)=4a\left(2-a\right)\)

\(S'\left(a\right)=0\Leftrightarrow a=0\cup a=2\)

Lập BTT ta thấy \(S\left(a\right)_{max}=S\left(2\right)=\dfrac{4}{3}\left(12-8\right)=\dfrac{16}{3}\approx5,3\left(đvdt\right)\)

Vậy \(S_{MNPQ}\left(max\right)=5,3\left(đvdt\right)\) thỏa đề bài