Question

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(x^2 - 4y^2 = 1\)

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(x^2 - 25 = y(y + 6)\)

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(x^2 - 2x - 11 = y^2\)

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(2xy^2 + x + y + 1 = x^2 + 2y^2 + xy\)

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(y^2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8)\)

Answer 1

1: \(x^2-4y^2=1\)

=>\(x^2-1=4y^2\)

=>\(4y^2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Vì y nguyên nên \(4y^2\) ⋮4

=>(x-1)(x+1)⋮4

=>x lẻ

=>x=2k+1

=>(x-1)(x+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)

=>\(4y^2\) =4k(k+1)

=>\(y^2=k\left(k+1\right)\)

=>y^2 là tích của hai số nguyên liên tiếp

=>\(y^2=0\)

=>y=0

\(x^2-4y^2=1\)

=>\(x^2=1\)

=>x=1 hoặc x=-1

Vậy: (x;y)∈{(1;0);(-1;0)}

2: \(x^2-25=y\left(y+6\right)\)

=>\(x^2-25=y^2+6y\)

=>\(x^2-25+9=y^2+6y+9\)

=>\(x^2-16=\left(y+3\right)^2\)

=>\(x^2-\left(y+3\right)^2=16\)

=>(x-y-3)(x+y+3)=16

=>(x-y-3;x+y+3)∈{(1;16);(16;1);(-1;-16);(-16;-1);(2;8);(8;2);(-2;-8);(-8;-2);(4;4);(-4;-4)}

TH1: x-y-3=1 và x+y+3=16

=>x-y-3+x+y+3=16+1

=>2x=17

=>\(x=\frac{17}{2}\) không là số nguyên

=>Loại

TH2: x-y-3=16 và x+y+3=1

=>x-y-3+x+y+3=16+1

=>2x=17

=>\(x=\frac{17}{2}\) không là số nguyên

=>Loại

TH3: x-y-3=-1 và x+y+3=-16

=>x-y-3+x+y+3=-1-16

=>2x=-17

=>x=-17/2 không là số nguyên

=>LOại

TH4: x-y-3=-16 và x+y+3=-1

=>x-y-3+x+y+3=-16-1

=>2x=-17

=>x=-17/2 không là số nguyên

=>Loại

TH5: x-y-3=2 và x+y+3=8

=>x-y-3+x+y+3=8+2

=>2x=10

=>x=5

x-y-3=2

=>5-y-3=2

=>2-y=2

=>y=0

TH6: x-y-3=8 và x+y+3=2

=>x-y-3+x+y+3=8+2

=>2x=10

=>x=5

x+y+3=2

=>5+y+3=2

=>y+8=2

=>y=2-8=-6

TH7: x-y-3=-2 và x+y+3=-8

=>x-y-3+x+y+3=-2-8

=>2x=-10

=>x=-5

x+y+3=-8

=>-5+y+3=-8

=>y-2=-8

=>y=-8+2=-6

TH8: x-y-3=-8 và x+y+3=-2

=>x-y-3+x+y+3=(-8)+(-2)

=>2x=-10

=>x=-5

x+y+3=-2

=>y-5+3=-2

=>y-2=-2

=>y=-2+2=0

TH9: x-y-3=4 và x+y+3=4

=>x-y-3+x+y+3=4

=>2x=8

=>x=4

x+y+3=4

=>4+y+3=4

=>y+7=4

=>y=-3

TH10: x-y-3=-4 và x+y+3=-4

=>x-y-3+x+y+3=(-4)+(-4)

=>2x=-8

=>x=-4

x+y+3=-4

=>y+(-4)+3=-4

=>y-1=-4

=>y=-4+1=-3