Question

cho tam giác ABC vuông tại A có AC < AB. Trên cạnh AB lấy điểm H sao cho AH = AC. Vẽ HK // AC (K ∈ BC). I là hình chiếu của K trên AC. Đường thẳng vuông góc với BC tại K cắt AB tại E.

a) Chứng minh tam giác BHK đồng dạng với tam giác KHE. Từ đó chứng minh \( BH \times HE = AI^2 \). b) Chứng minh \( AH \times KE = KH \times KC \).

c) Cho \( AB = 8 \, \text{cm} \), \( AC = 6 \, \text{cm} \). Tính diện tích tam giác BKE.

Answer 1

a: Xét ΔBHK vuông tại H và ΔKHE vuông tại H có

\(\widehat{HBK}=\widehat{HKE}\left(=90^0-\widehat{HEK}\right)\)

Do đó: ΔBHK~ΔKHE

b: Xét tứ giác AIKH có \(\widehat{AIK}=\widehat{AHK}=\widehat{HAI}=90^0\)

nên AIKH là hình chữ nhật

=>HK=AI và AH=KI

ΔBHK~ΔKHE

=>\(\dfrac{HB}{HK}=\dfrac{HK}{HE}\)

=>\(HB\cdot HE=HK^2=AI^2\)

c: Xét ΔHEK vuông tại H và ΔICK vuông tại I có

\(\widehat{HEK}=\widehat{ICK}\left(=\widehat{BKH}\right)\)

Do đó: ΔHEK~ΔICK

=>\(\dfrac{KH}{KI}=\dfrac{KE}{KC}\)

=>\(KH\cdot KC=KI\cdot KE=AH\cdot KE\)

d: Ta có: AH+HB=AB

=>HB=AB-AH=AB-AC=8-6=2(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot6=24\left(cm^2\right)\)

Xét ΔBAC có HK//AC
nên \(\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{BH}{BA}\)

=>\(\dfrac{BK}{10}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\)

=>BK=10/4=2,5(cm)

Xét ΔBKE vuông tại K và ΔBAC vuông tại A có

\(\widehat{KBE}\) chung

Do đó: ΔBKE~ΔBAC

=>\(\dfrac{S_{BKE}}{S_{BAC}}=\left(\dfrac{BK}{BA}\right)^2=\left(\dfrac{2.5}{8}\right)^2=\left(\dfrac{5}{16}\right)^2=\dfrac{25}{256}\)

=>\(S_{BKE}=\dfrac{25}{256}\cdot24=\dfrac{75}{32}\left(cm^2\right)\)