B1. Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O;R) (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Tia AO cắt đường tròn (O;R) tại M và N (M nằm giữa A và N).
a) Chứng minh 4 điểm A, O, B, C cùng nằm trên 1 đường tròn.
b) Chứng minh AO ⊥ BC và AM \cdot AN = AH \cdot AO.
c) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp \triangle ABC.
d) Kẻ đường kính BD, gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên BD, K là điểm của AD = CE. Chứng minh HE \parallel BD.
e) Gọi P là điểm chia tia HK và tia AC, tia CE cắt tia AO tại I. Chứng minh 5 điểm T, D, K, J thẳng hàng.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\widehat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM
\(\widehat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM
Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{BNM}\)
Xét ΔABM và ΔANB có
\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)
\(\widehat{BAM}\) chung
Do đó: ΔABM~ΔANB
=>\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)
=>\(AB^2=AN\cdot AM\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AN\cdot AM=AH\cdot AO\)
c: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AO là phân giác của góc BAC
Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{OBM}=\widehat{OBA}=90^0\)
\(\widehat{HBM}+\widehat{OMB}=90^0\)
mà \(\widehat{OMB}=\widehat{OBM}\)(ΔOBM cân tại O)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{HBM}\)
=>BM là phân giác của góc HBA
Xét ΔABC có
BM,AO là các đường phân giác
BM cắt AO tại M
Do đó: M là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
