Question

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác \( ABC \) nhọn (\( AB < AC \)), nội tiếp đường tròn \( (O) \). Các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại \( H \). \( M \) là trung điểm của \( BC \)

a) Chứng minh: Tứ giác \( BCEF \) nội tiếp.

b) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BE \) và \( DF \). Chứng minh rằng \( FC \) là tia phân giác của \( \angle DFE \) và \( HI \cdot BE = HE \cdot BI \).

c) Tia \( EF \) cắt đường tròn \( (O) \) tại \( P \). Chứng minh rằng: \( AP^2 = 2 \cdot AD \cdot OM \)

Answer 1

a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BFHD nội tiếp)

mà \(\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACD}\right)\)

nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)

=>FH là phân giác của góc EFD