Bài 7: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Điểm E thuộc tia BA, sao cho A là trung điểm của EO. Từ E vẽ tiếp tuyến EM (M là tiếp điểm) cắt Ax tại C và By tại D.
a) Chứng minh tứ giác OMDB là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Đoạn thẳng AM cắt OC tại I, đoạn thẳng MB cắt OD tại K. Chứng minh tứ giác OKMI là hình chữ nhật và tam giác OKI đồng dạng với tam giác OCD.
c) Tính diện tích tứ giác KICD và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác KICD theo R.
a: Xét tứ giác OMDB có \(\widehat{OMD}+\widehat{OBD}=90^0+90^0=180^0\)
nên OMDB là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA
=>C nằm trên đường trung trực của MA(1)
Ta có: OM=OA
=>O nằm trên đường trung trực của MA(2)
Từ (1),(2) suy ra CO là đường trung trực của MA
=>CO\(\perp\)MA tại I và I là trung điểm của MA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB
=>D nằm trên đường trung trực của MB(3)
Ta có: OM=OB
=>O nằm trên đường trung trực của MB(4)
Từ (3),(4) suy ra DO là đường trung trực của MB
=>DO\(\perp\)MB tại K và K là trung điểm của MB
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
Xét tứ giác MIOK có \(\widehat{MIO}=\widehat{MKO}=\widehat{IMK}=90^0\)
nên MIOK là hình chữ nhật
=>\(\widehat{OIK}=\widehat{OMK}\)
mà \(\widehat{OMK}=\widehat{ODB}\)(OMDB nội tiếp)
và \(\widehat{ODB}=\widehat{ODC}\))(DO là phân giác của góc MDB)
nên \(\widehat{OIK}=\widehat{ODC}\)
Xét ΔOIK và ΔODC có
\(\widehat{OIK}=\widehat{ODC}\)
\(\widehat{IOK}\) chung
Do đó; ΔOIK~ΔODC
