Question

Bài I. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức \( A = \frac{x-5}{\sqrt{x}} \) và \( B = \frac{2x + 2\sqrt{x}}{x-1} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} \) với \( x > 0, x \neq 1 \).

1) Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = 36 \).
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức \( P = A \cdot B \) có giá trị nguyên.

Answer 1

`#1149`

`1)`

Thay `x = 36` vào A:

\(A=\dfrac{36-5}{\sqrt{36}}=\dfrac{31}{6}\)

Vậy, `A = 31/6` khi `x = 36`

`2)`

\(B=\dfrac{2x+2\sqrt{x}}{x-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\\ =\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{\left(2\sqrt{x}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

`3)`

`P = A*B`

\(=\dfrac{x-5}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\\ =\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-1}\)

Để P nguyên:

`x - 5 \vdots \sqrt{x} - 1`

`x - 1 - 4 \vdots \sqrt{x} - 1`

`(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) - 4\vdots \sqrt {x} - 1`

`-4 \vdots \sqrt{x} - 1`

`\sqrt{x} - 1 \in \text{Ư(-4)} = {+-1; +-2; +-4}`

`\sqrt{x} \in {0; 2; -1; 3; -3; 5}`

`x \in {0; 1; 4; 9; 25}`

\(x>0;x\ne1\) nên `x \in {4; 9; 25}`

Vậy, để P nguyên thì x thỏa mãn các gtri `x \in {4; 9; 25}.`