a: Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔACK vuông tại C
=>CA\(\perp\)CK
mà BH\(\perp\)CA
nên BH//CK
Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
=>BA\(\perp\)BK
mà CH\(\perp\)BA
nên CH//BK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
b: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>Tâm I là trung điểm của AH
=>IE=IF
=>I nằm trên đường trung trực của EF(1)
Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>BFEC nội tiếp (M)
=>ME=MF
=>M nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1),(2) suy ra IM là đường trung trực của EF
=>IM\(\perp\)EF
BFEC nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Gọi Ax là tiếp tuyến của A của (O)
=>Ax\(\perp\)AO tại A
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//FE
mà Ax\(\perp\)OA
nên OA\(\perp\)FE
mà FE\(\perp\)IM
nên OA//IM
Xét (O) có
\(\widehat{AKB};\widehat{ACB}\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung AB
=>\(\widehat{AKB}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ACB}=\widehat{BHD}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)
nên \(\widehat{DHB}=\widehat{BKA}\)
Xét ΔDHB vuông tại D và ΔBKA vuông tại B có
\(\widehat{DHB}=\widehat{BKA}\)
Do đó: ΔDHB~ΔBKA
=>\(\dfrac{DB}{BA}=\dfrac{BH}{AK}\)
=>\(\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{BD}{BH}\)
