Câu 24. Cho đường tròn tâm \( O \) bán kính \( R = 2 \text{cm} \). Từ điểm \( M \) ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến \( MA, MB \) sao cho \( \angle AMB = 60^0 \) (\( A, B \) thuộc đường tròn). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) \( AB = 12 \text{ cm}. \)
b) Độ dài cung \( AB \) nhỏ là \( \frac{2\pi}{3} \text{ cm}. \)
c) Diện tích hình quạt tròn \( OAB \) là \( \frac{\pi R^2}{3} \text{ cm}^2 . \)
d) Diện tích hình bị giới hạn bởi đoạn thẳng \( MA, MB \) và cung \( AB \) nhỏ là \( 12\sqrt{12} - \pi R^2 \, (\text{cm}^2). \)
a) Xét tứ giác \(MAOB\) có :
\(\widehat{A}=\widehat{B}=90^o\left(tiếp.tuyến\right);\widehat{AMB}=60^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AOB}=360^o-\left(90^0+90^0+60^0\right)=120^o\)
\(\Rightarrow\Delta OAH\) là tam giác nửa đều (\(H\) là đường cao của tam giác cân \(OAB\))
\(\Rightarrow AH=\dfrac{OA\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=2AH=2.\dfrac{OA\sqrt{3}}{2}=OA\sqrt{3}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow Sai\)
b) Độ dài cung nhỏ \(AB:l=\dfrac{\pi R.\widehat{AOM}}{180^0}=\dfrac{\pi.2.120^o}{180^0}=\dfrac{4\pi}{3}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow Sai\)
c) Diện tích hình quạt tròn \(OAB:\)
\(S=\dfrac{\pi R^2.120^o}{360^0}=\dfrac{\pi.2^2.120^o}{360^0}=\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{\pi R^2}{3}\left(cm^2\right)\)
\(\RightarrowĐúng\)
d) Diện tích \(S'\) phần được giới hạn bởi \(MA;MB\) và cung \(AB\) nhỏ chính là phần diện tích của tam giác \(MAB\) trừ đi diện tích hình quạt tròn \(OAB\)
Tam giác \(MAB\) là tam giác đều vì \(MA=MB\left(tiếp.tuyến\right);\widehat{AMB}=60^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow S_{MAB}=\dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{12.\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
\(S'=S_{MAB}-S_{quạt.OAB}=3\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}\left(cm^2\right)\)
\(\Rightarrow Sai\)
