2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính \( AB \) và điểm \( M \) nằm trên nửa đường tròn (\( M \neq A, B \)). Gọi \( K \) là 1 điểm thuộc đoạn \( BM \) (\( K \neq A; O \)).
Gọi \( d, d' \) là các tiếp tuyến tại \( A \) và \( B \) của nửa đường tròn.
Đường thẳng vuông góc với \( KM \) tại \( K \) cắt \( d \) tại \( E \), đường thẳng \( l \) kẻ tại \( K \) cắt \( d' \) tại \( F \). Nối \( AM \) cắt \( EK \) tại \( C \), nối \( BM \) cắt \( FK \) tại \( D \). Chứng minh:
a, \( AEMK \) và \( KDMF \) là các tứ giác nội tiếp.
b, \( CD // AB \).
c, 3 đường thẳng \( d', KD, ME \) đồng quy.
a: Xét tứ giác AEMK có \(\widehat{EAK}+\widehat{EMK}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEMK là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
Xét tứ giác MCKD có \(\widehat{MCK}+\widehat{MDK}=90^0+90^0=180^0\)
nên MCKD là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: MCKD nội tiếp
=>\(\widehat{MDC}=\widehat{MKE}\)
mà \(\widehat{MKE}=\widehat{MAE}\)(AEMK nội tiếp)
và \(\widehat{MAE}=\widehat{MBA}\left(=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{MA}\right)\)
nên \(\widehat{MDC}=\widehat{MBA}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên DC//AB
