PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AA'\). Cho biết \(AB = 2\), \(BC = \sqrt{13}\), \(CC' = 4\). Tính số đo của góc nhị diện \([A, CE, F]\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz:\)
\(A\left(0;0;0\right);B\left(2;0;0\right)\left(AB=2\right);C\left(0;3;0\right)\left(BC=\sqrt{13}\right);A'\left(0;4;0\right)\left(AA'=CC'=4\right)\)
\(E\) là trung điểm \(AB\Rightarrow E\left(\dfrac{0+2}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+0}{2}\right)=\left(1;0;0\right)\)
\(F\) là trung điểm \(AA'\Rightarrow F\left(\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+4}{2}\right)=\left(0;0;2\right)\)
\(A;C;E\) đều có \(z=0\Rightarrow\left(ACE\right)\equiv\left(Oxy\right):z=0\Rightarrow\overrightarrow{n_1}=\left(0;0;1\right)\)
\(\overrightarrow{CE}=\left(1;-3;0\right);\overrightarrow{CF}=\left(0;-3;2\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{CE};\overrightarrow{CF}\right]=\left(-6;-2;-3\right)=\left(6;2;3\right)\)
\(cos\left[A;CE;F\right]=cos\left(\widehat{\left(ACE\right);\left(CÈ\right)}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\dfrac{\left|0.\left(-6\right)+0.\left(-2\right)+1.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}.\sqrt{6^2+2^2+3^2}}=\dfrac{3}{7}\)
\(Sđ\left[A;CE;F\right]=arcos\left(\dfrac{3}{7}\right)\approx65^o\)
