Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz:\)
\(A\left(0;0;0\right);B\left(2;0;0\right);D\left(0;3;0\right);A'\left(0;0;1\right);B'\left(2;0;1\right);D'\left(0;3;1\right)\)
\(M\left(0;y;0\right)\in AD\left(0\le y\le3\right)\)
\(\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{u}=\left(-2;3;1\right)\Rightarrow N\left(2-2t;3t;t\right)\in\left(BD\right)\left(0\le t\le1\right)\)
\(MN=\sqrt{\left(2-2t\right)^2+\left(3t-y\right)^2+t^2}\)
Đặt \(f\left(t;y\right)=\left(2-2t\right)^2+\left(3t-y\right)^2+t^2\)
\(f'_t=-4\left(2-2t\right)+6\left(3t-y\right)+2t=0\left(1\right)\)
\(f'_y=-2\left(3t-y\right)=0\left(2\right)\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(t;y\right)=\left(\dfrac{2}{3};2\right)\) là điểm dừng
\(f''_{tt}=8+18+2=28\)
\(f''_{ty}=-6\)
\(f''_{yy}=2\)
Ma trận Hessian \(H\) của \(f\left(t;y\right)\) tại điểm \(\left(t;y\right)=\left(\dfrac{2}{3};2\right)\) là:
\(H=\left[\begin{matrix}28&-6\\-6&2\end{matrix}\right]\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}H_1=28>0\\H_2=28.2-\left(-6\right).\left(-6\right)=20>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(t;y\right)\) đạt min tại điểm dừng \(\left(t;y\right)=\left(\dfrac{2}{3};2\right)\)
\(\Rightarrow MN\left(min\right)=\sqrt{\left(2-2.\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(3.\dfrac{2}{3}-2\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\approx0,94\left(m\right)\)
Chiều dài ngắn nhất của đoạn thanh sắt \(MN=0,94\left(m\right)\)
