Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Trên Ax lấy điểm M (M khác A), từ M vẽ tiếp tuyến MC của đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AC. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại D (D nằm giữa M và B).
a) Chứng minh \( OM \perp AC \) tại H;
b) Gọi K là trung điểm BD. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt OK tại E. Chứng minh A, C, E thẳng hàng.
a: Xét (O) có
MA,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MC
=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)
ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AC
=>MO⊥AC tại H và H là trung điểm của AC
b: ΔOBD cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK⊥BD tại K
Xét ΔOBE vuông tại B có BK là đường cao
nên \(OK\cdot OE=OB^2=R^2\left(3\right)\)
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(OK\cdot OE=OH\cdot OM\)
=>\(\frac{OH}{OE}=\frac{OK}{OM}\)
Xét ΔOHK và ΔOEM có
\(\frac{OH}{OE}=\frac{OK}{OM}\)
\(\hat{HOK}\) chung
Do đó: ΔOHK~ΔOEM
=>\(\hat{OHK}=\hat{OEM}\)
mà \(\hat{OHK}+\hat{MHK}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{MHK}+\hat{MEK}=180^0\)
=>MHKE nội tiếp
=>\(\hat{MHE}=\hat{MKE}=90^0\)
=>EH⊥MH tại H
mà AH⊥MH
và AH,EH có điểm chung là H
nên A,H,E thẳng hàng
=>A,C,E thẳng hàng
