Bài 8:
a: Xét (O) có
ΔAHB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAHB vuông tại H
=>AH\(\perp\)BC tại H
Xét ΔABC vuông tại A có \(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\CH\cdot CB=CA^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8\left(cm\right)\\CH=8^2:10=6,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b: ΔOAH cân tại O
mà OD là đường cao
nên OD là phân giác của góc AOH
Xét ΔOAD và ΔOHD có
OA=OH
\(\widehat{AOD}=\widehat{HOD}\)
OD chung
Do đó: ΔOAD=ΔOHD
=>\(\widehat{OAD}=\widehat{OHD}\)
=>\(\widehat{OHD}=90^0\)
=>HD\(\perp\)HO
Bài 9:
a: Xét (I) có
ΔHDB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHDB vuông tại D
=>HD\(\perp\)AB tại D
Xét (K) có
ΔCEH nội tiếp
CH là đường kính
Do đó: ΔHEC vuông tại E
=>HE\(\perp\)AC tại E
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
c: Xét ΔABC vuông tại A có \(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(AC^2=5^2-3^2=16=4^2\)
=>AC=4(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)
ADHE là hình chữ nhật
=>DE=AH
mà AH=2,4cm
nên DE=2,4cm
AEHD là hình chữ nhật
=>\(\widehat{HED}=\widehat{HAD}\) và \(\widehat{EDH}=\widehat{EAH}\)
\(\widehat{EDI}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}=\widehat{IHD}+\widehat{EAH}\)
\(=\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=90^0\)
=>ED\(\perp\)DI tại D(4)
\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}=\widehat{HAB}+\widehat{KHE}\)
\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)
=>KE\(\perp\)ED tại E(3)
Từ (3),(4) suy ra KEDI là hình thang vuông
=>\(S_{KEDI}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(KE+DI\right)\cdot ED=\dfrac{1}{2}\cdot2,4\cdot\left(\dfrac{BH}{2}+\dfrac{CH}{2}\right)\)
\(=1,2\cdot\dfrac{BC}{2}=1,2\cdot\dfrac{5}{2}=1,2\cdot2,5=3\left(cm^2\right)\)
