a: Xét (O) có
EM,EB là các tiếp tuyến
Do đó: EM=EB và OE là phân giác của góc BOM
Xét (O) có
FM,FC là các tiếp tuyến
Do đó: FM=FC và OF là phân giác của góc MOC
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: OA là phân giác của góc BOC
=>\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\dfrac{\widehat{BOC}}{2}=60^0\)
Xét ΔOBA vuông tại B có \(tanBOA=\dfrac{BA}{OB}\)
=>\(BA=OB\cdot tanBOA=R\cdot tan60=\sqrt{3}\cdot R\)
Chu vi tam giác AEF là:
AE+EF+AF
=AE+EM+MF+AF
=AE+EB+FC+AF
=AB+AC
=2AB\(=2R\sqrt{3}\)
b: \(\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BOM}+\widehat{MOC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot120^0=60^0\)
Xét (O) có
\(\widehat{BCA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CB
Do đó: \(\widehat{BCA}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOC}=60^0\)
Xét ΔABC có AB=AC và \(\widehat{ACB}=60^0\)
nên ΔABC đều
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=60^0\) và AB=BC=CA
Xét tứ giác OIFC có \(\widehat{IOF}=\widehat{ICF}\left(=60^0\right)\)
nên OIFC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FIO}+\widehat{FCO}=180^0\)
=>\(\widehat{FIO}=90^0\)
=>FI\(\perp\)OE
Xét tứ giác OBEK có \(\widehat{KBE}=\widehat{KOE}\left(=60^0\right)\)
nên OBEK là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{OKE}+\widehat{OBE}=180^0\)
=>\(\widehat{OKE}=180^0-90^0=90^0\)
=>EK\(\perp\)OF
Xét ΔOEF có
OM,FI,EK là các đường cao
Do đó: OM,FI,EK đồng quy
c: Xét tứ giác EIKF có \(\widehat{EIF}=\widehat{EKF}=90^0\)
nên EIKF là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{EIK}+\widehat{EFK}=180^0\)
mà \(\widehat{EIK}+\widehat{OIK}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{OIK}=\widehat{OFE}\)
Xét ΔOKE vuông tại K có \(cosEOK=\dfrac{OK}{OE}\)
=>\(\dfrac{OK}{OE}=cos60=\dfrac{1}{2}\)
Xét ΔOIK và ΔOFE có
\(\widehat{OIK}=\widehat{OFE};\widehat{FOE}\) chung
Do đó: ΔOIK~ΔOFE
=>\(\dfrac{IK}{FE}=\dfrac{OK}{OE}=\dfrac{1}{2}\)
=>FE=2IK
