Giả sử \(f\left(x\right)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\) và \(g\left(x\right)=2x^2+a_4x+a_5\).
Khi đó \(g'\left(x\right)=4x+a_4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+a_4=-16\\4b+a_4=16\end{matrix}\right.\Rightarrow b-a=8\)
Xét đa thức \(h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^3+c_1x^2+c_2x+c_3\). Khi đó đa thức \(h'\left(x\right)\) có bậc là 2 và có 2 nghiệm phân biệt là a và b. Mặt khác hệ số cao nhất của \(h'\left(x\right)\) là 3, nên \(h'\left(x\right)=3\left(x-a\right)\left(x-b\right)\).
Do h(x) và h'(x) có nghiệm chung là a, và a là nghiệm bội 1 (nghiệm đơn) của h'(x), nên a phải là nghiệm bội 2 của h(x). Như vậy \(h\left(x\right)=\left(x-a\right)^2\left(x-c\right)\).
\(\Rightarrow h'\left(x\right)=2\left(x-a\right)\left(x-c\right)+\left(x-a\right)^2=3\left(x-a\right)\left(x-\dfrac{2c+a}{3}\right)\).
Đồng nhất hệ số ta được \(b=\dfrac{2c+a}{3}\Rightarrow c=\dfrac{3b-a}{2}=b+4\).
Vậy \(h\left(x\right)=\left(x-a\right)^2\left(x-b-4\right)\) \(\Rightarrow h\left(b+1\right)=\left(b+1-a\right)^2\left(b+1-b-4\right)=-3^5\)
\(\Rightarrow g\left(b+1\right)-f\left(b+1\right)=-3^5\)
