1. Em tự giải
2.
\(-\left|x^3\right|+3x^2+k=0\Leftrightarrow\left|x\right|^3-3x^2+2=k+2\)
Hàm \(y=\left|x^3\right|-3x^2+2\) chính là hàm \(y=f\left(\left|x\right|\right)\) trong đó \(f\left(x\right)=x^3-3x^2+2\) đã vẽ ở câu a
Do đó ta chỉ cần bỏ phần bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải qua là được đồ thị \(y=\left|x^3\right|-3x^2+2\)
Từ đồ thị ta thấy phương trình: \(\left|x^3\right|-3x^2+2=k+2\)
- Vô nghiệm khi \(k+2< -2\Rightarrow k< -4\)
- Có 2 nghiệm khi \(\left[{}\begin{matrix}k+2=-2\\k+2>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=-4\\k>0\end{matrix}\right.\)
- Có 3 nghiệm khi \(k+2=2\Rightarrow k=0\)
- Có 4 nghiệm khi \(-2< k+2< 2\Rightarrow-4< k< 0\)
3.
Câu này chắc sử dụng dữ liệu của câu a chứ? Vì nếu giải tổng quát cho cả \(\left(C_m\right)\) thì bài toán cực kì rắc rối (rắc rối về mặt tính toán, còn phương pháp làm rất đơn giản: viết pt trung trực `d` của AB, tìm giao điểm của `d` với `(C)`, giao điểm đó chính là M cần tìm).
\(y=x^3-3x^2+2\) có 2 cực trị \(A\left(0;2\right);B\left(2;-2\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)=2\left(1;-2\right)\)
Gọi I là trung điểm AB \(\Rightarrow I\left(1;0\right)\)
Phương trình trung trực d của AB đi qua I và nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt:
`1(x-1)-2y=0`\(\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\)
M là giao điểm d và (C) nên là nghiệm:
\(x^3-3x^2+2=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(loại\right)\\x=\dfrac{2\pm\sqrt{14}}{2}\end{matrix}\right.\) (loại x=1 do nó là trung điểm của AB => 3 điểm thẳng hàng nên ko tạo tam giác)
\(\Rightarrow y=\mp\dfrac{\sqrt{14}}{4}\)
Vậy có 2 điểm M là \(M\left(\dfrac{2-\sqrt{14}}{2};\dfrac{\sqrt{14}}{4}\right);M\left(\dfrac{2+\sqrt{14}}{2};-\dfrac{\sqrt{14}}{4}\right)\)
4.
\(y'=3x^2+2mx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{2m}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\left(C_m\right)\) cắt trục hoành tại điểm duy nhất khi:
TH1: hàm không có cực trị \(\Rightarrow m=0\)
TH2: hàm có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị cùng dấu
Do \(\left(0;2\right)\) luôn là 1 cực trị và \(2>0\) nên 2 giá trị cực trị cùng dấu khi:
\(y\left(-\dfrac{2m}{3}\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{-2m}{3}\right)^3+m\left(\dfrac{-2m}{3}\right)^2+2>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{27}m^3+2>0\)
\(\Rightarrow m^3>-\dfrac{27}{2}\)
\(\Rightarrow m>-\sqrt[3]{\dfrac{27}{2}}\)
Kết hợp 2 TH ta có \(m>-\sqrt[3]{\dfrac{27}{2}}\)
