Gợi ý câu b,c). Đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại I (ý tưởng là đặt x+y=S;xy=P để giải hệ phương trình theo S,P, từ đó dùng Viete đảo).
Đặt \(x+y=S;xy=P\). Khi đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^3y^3+y^3=17\\x+xy+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^3-3SP+P^3=17\\S+P=5\end{matrix}\right.\)
Đến đây dùng phương pháp thế để tìm S,P, rồi dùng Viete đảo để tìm x,y.
\(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=2\\x^3+y^3+x^3y^3+7\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}SP=2\\S^3-3SP+P^3+7P+7S=24\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}SP=2\\S^3+P^3+7P+7S=30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}SP=2\\\left(S+P\right)^3-3SP\left(S+P\right)+7P+7S=30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}SP=2\\\left(S+P\right)^3+\left(S+P\right)-30=0\end{matrix}\right.\)
Đến đây giải phương trình bậc 3 tìm (S+P), rồi dùng Viete đảo tìm S,P--->tiếp tục dùng Viete đảo tìm x,y.
Câu d,e,f). Đây là dạng hệ phương trình đối xứng loại II (ý tưởng là lấy 2 phương trình trừ vế theo vế, khi đó xuất hiện nhân tử chung x-y). Mình chỉ hướng dẫn câu d,e thôi nhé.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\sqrt{x}=2y\\y^2+\sqrt{y}=2x\end{matrix}\right.\left(x,y\ge0\right)\Rightarrow\left(x^2-y^2\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)+2\left(x-y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)+1+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\right]=0\)
Dễ thấy nhân tử bên phải lớn hơn 0, nên \(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Rightarrow x=y\). Từ đó thế vào 1 trong 2 phương trình giải x,y.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+3x-1+\sqrt{2x+1}=y\\y^3+3y-1+\sqrt{2y+1}=x\end{matrix}\right.\left(x,y\ge-\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow\left(x^3-y^3\right)+4\left(x-y\right)+\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2y+1}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+4+\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}}\right)=0\)
Dễ dàng chứng minh \(x^2+xy+y^2+4+\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}}>0\) với \(x,y\ge-\dfrac{1}{2}\), nên \(x=y\) --->quay lại giải phương trình chứa căn thức.
