a) \(x^2-2mx+m-1=0\) (1)
Thay \(m=1\) vào phương trình (1), ta được:
\(x^2-2\cdot1\cdot x+1-1=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy khi m = 1 thì phương trình có tập nghiệm là: \(S=\left\{0;2\right\}\)
b) \(\Delta=4m^2-4\left(m-1\right)=\left(2m-1\right)^2+3>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
Vì phương trình đã cho có 2 nghiệm là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo là \(\sqrt{14}\) nên theo đli Pythagore, ta có:
\(x_1^2+x_2^2=\left(\sqrt{14}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=14\)
\(\Rightarrow\left(2m\right)^2-2\left(m-1\right)=14\)
\(\Leftrightarrow4m^2-2m-12=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-m-6=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-4m+3m-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right)\left(m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)
$\text{#}Toru$
