Lời giải:
Gọi $z=a+bi$ với $a,b$ là số thực.
$|3-4i-z|=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow |(3-a)-i(4+b)|=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow (3-a)^2+(b+4)^2=2(*)$
$(z+3i)^2=[a+i(b+3)]^2=a^2-(b+3)^2+2ai(b+3)$ là số thuần ảo
Điều này xảy ra khi $a^2-(b+3)^2=0$
$\Leftrightarrow a^2=(b+3)^2\Rightarrow a=b+3$ hoặc $a=-(b+3)$
Nếu $a=b+3$ thì thay vào $(*)$ thì:
$b^2+(b+4)^2=2$
$\Leftrightarrow 2b^2+8b+14=0$
$\Leftrightarrow b^2+4b+7=0$
$\Leftrightarrow (b+2)^2=-3<0$ (vô lý - loại)
Nếu $a=-(b+3)$ thì thay vào $(*)$ thì:
$(b+6)^2+(b+4)^2=2$
$\Leftrightarrow 2b^2+20b+50=0$
$\Leftrightarrow b^2+10b+25=0$
$\Leftrightarrow (b+5)^2=0\Leftrightarrow b=-5$
Vậy có 1 số $b$ thỏa mãn kéo theo có 1 số $z$ thỏa mãn.
