a: Xét ΔHAB có
M,N lần lượt là trung điểm của HA,HB
=>MN là đường trung bình của ΔHAB
=>MN//AB
=>MN\(\perp\)AD
Xét ΔDAN có
NM,AH là các đường cao
NM cắt AH tại M
Do đó: M là trực tâm của ΔDAN
=>DM\(\perp\)AN
b:
Xét ΔHAB có
I,N lần lượt là trung điểm của BA,BH
=>IN là đường trung bình của ΔHAB
=>IN//AH
=>IN\(\perp\)DB tại N
Ta có: DC=1/2AB
AI=1/2AB
Do đó: DC=AI
Xét tứ giác DCIA có
DC//IA
DC=IA
Do đó: DCIA là hình bình hành
Hình bình hành DCIA có \(\widehat{CDA}=90^0\)
nên DCIA là hình chữ nhật
Ta có: \(\widehat{DNI}=\widehat{DAI}=\widehat{DCI}=90^0\)
=>D,N,A,I,C cùng thuộc đường tròn đường kính DI
ΔHAB có MH = MA (gt), NH = NB (gt)
=> MN là đường trung bình của ΔHAB => MN // AB
Mà AD ⊥ AB (vì gócA = 90°) => MN ⊥ AD.
AADN có MN ⊥ AD (chứng minh trên), AH ⊥ BD (gt)
=> NM và AH là hai dường cao của ΔADN
=> M là trực tâm của ΔADN
=> AM là đường cao thứ ba => DM ⊥ AN.
ΔHAB có MH = MA (gt), NH = NB (gt)
=> MN là đường trung bình của ΔHAB => MN // AB
Mà AD ⊥ AB (vì 
AADN có MN ⊥ AD (chứng minh trên), AH ⊥ BD (gt)
=> NM và AH là hai dường cao của ΔADN
=> M là trực tâm của ΔADN
=> AM là đường cao thứ ba => DM ⊥ AN.
2) Vì MN là đường trung bình của ΔHAB => MN // AB, MN = 1/2 AB
Lại có: DC // AB, DC = -1/2AB (gt)
=> DC // MN, DC = MN => CDMN là hình bình hành => DM // CN.
Mà DM ⊥ AN (chứng minh trên)
=> CN ⊥ AN => góc ADC
= 90°
Mặt khác, xét tứ giác ADCI có:
DC // AI (vì DC // AB),
DC = AI (vì cùng bằng 1/2 AB)
=> ADCI là hình bình hành
=> 
Ta có:
3) Xét đường tròn đường kính AC, ta có: 
Xét ΔABD và ΔNAC có: 
=> ΔABD ∼ Δ NAC (g.g)
=> AB / AN = BD /AC Mà AB = 2DC => 2DC /AN = BD / AC
=> AN.BD = 2DC.AC (đpcm)
