1: Thay x=2 và y=3 vào (d), ta được:
\(2\left(m-1\right)\cdot2+m^2+2m=3\)
=>\(m^2+2m+4m-4-3=0\)
=>\(m^2+6m-7=0\)
=>(m+7)(m-1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-7\\m=1\end{matrix}\right.\)
2: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=2\left(m-1\right)x+m^2+2m\)
=>\(x^2-x\left(2m-2\right)-m^2-2m=0\)
\(\text{Δ}=\left[-\left(2m-2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2-2m\right)\)
\(=4m^2-8m+4+4m^2+8m\)
\(=8m^2+4>=4>0\forall m\)
=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m^2-2m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2>2023-6x_1x_2\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2>2023\)
=>\(\left(2m-2\right)^2+4\left(-m^2-2m\right)>2023\)
=>\(4m^2-8m+4-4m^2-8m>2023\)
=>-16m>2019
=>\(m< -\dfrac{2019}{16}\)
