Vì \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow AB=AC;\widehat{B}=\widehat{C}\)
Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có: AM là đường trung tuyến
\(\Rightarrow M\) là trung điểm của \(BC\) \(\Rightarrow MB=MC=\dfrac{1}{2}BC\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(cmt\right)\\\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\\MB=MC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)
Mà: tia \(AM\) nằm giữa hai tia \(AB\) và \(AC\)
\(\Rightarrow AM\) là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\MB=MC\end{matrix}\right.\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\text{ nằm trên đường trung trực của }BC\\M\text{ nằm trên đường trung trực của }BC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AM\) là đường trung trực của đoạn $BC$
Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)
=>AM là phân giác của góc BAC
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: MB=MC
=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra AM là đường trung trực của BC
