a.
Theo giả thiết ta có \(AH\perp HC\) và \(AE\perp CE\)
\(\Rightarrow\) H và E cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên 4 điểm A, H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC. Với tâm đường tròn là trung điểm AC.
b.
Do O thuộc AC \(\Rightarrow OA\perp AB\)
Mà A thuộc đường tròn \(\Rightarrow OA\) là bán kính
\(\Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của (O)
c.
Do AB là tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{ACH}\) (cùng chắn AH) (1)
Trong tam giác ABD, do \(HD=HB\) nên AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
\(\Rightarrow\Delta ABD\) cân tại A \(\Rightarrow AH\) đồng thời là phân giác
\(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{HAD}\) (2)
Mà \(\widehat{HAD}=\widehat{ECB}\) (cùng chắn cung HE của (O)) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ECB}\) hay \(\widehat{ACB}=\widehat{ECB}\)
d.
Trong tam giác vuông ABC:
\(tan\widehat{ACB}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AB=AC.tan30^0=2\sqrt{3}\) (cm)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=6\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
Theo c/m câu c \(\widehat{ECB}=\widehat{ACB}=30^0\Rightarrow\widehat{ACE}=60^0\)
Tong tam giác vuông AEC:
\(sin\widehat{ACE}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AE=AC.sin60^0=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(cos\widehat{ACE}=\dfrac{CE}{AC}\Rightarrow CE=AC.cos60^0=3\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow S_{AEC}=\dfrac{1}{2}AE.CE=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)
