Bài toán chỉ đúng khi K nằm trên đoạn thẳng AC.
\(CK=4AK\Rightarrow\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\)
Gọi M là trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm:
\(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AK}\)
I là trung điểm AG \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AK}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AK}=\dfrac{5}{6}\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{BK}\)
\(\Rightarrow\) B, I, K thẳng hàng
Giả sử gắn tọa độ vào các điểm `A,B,C` đảm bảo `3` điểm đó không thẳng hàng: `A(2;1) ; B(-2;5);C(0;0)`
`@G` là trọng tâm `\triangle ABC=>{(x_G=[x_A+x_B+x_C]/3=0),(y_G=[y_A+y_B+y_C]/3=2):}=>G(0;2)`
`@I` là trung điểm `AG=>{(x_I=[x_A+x_G]/2=1),(y_I=[y_A+y_G]/2=3/2):}=>I(1;3/2)`
Ta có: `CK=4AK`
`=>\vec{CK}=4\vec{KA}`
`<=>(x_K;y_K)=4(2-x_K;1-y_K)`
`<=>{(x_K=8-4x_K),(y_K=4-4y_K):}<=>{(x_K=8/5),(y_K=4/5):}=>K(8/5;4/5)`
Giả sử `B,I,K` thẳng hàng
`=>\vec{BI}=k\vec{BK}`
`<=>(3;-7/2)=k(18/5;-21/5)`
`<=>{(3=18/5k),(-7/2=-21/5k):}`
`<=>{(k=5/6),(k=5/6):}<=>k=5/6`
`=>3` điểm `B,I,K` thẳng hàng
