Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Hồng Phúc
20 tháng 1 2021 lúc 13:00

Áp dụng BĐT BSC:

\(\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\dfrac{zx}{z+x+2y}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(x+y+2z\right)}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(y+z+2x\right)}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{\left(1+1+2\right)\left(z+x+2y\right)}}\)

\(\le\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}+2\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\)

\(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{yz}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{z}+\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{zx}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{9}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Le Thao Vy
Xem chi tiết
An Binnu
Xem chi tiết
Nguyễn Châu Mỹ Linh
Xem chi tiết
Julian Edward
Xem chi tiết
Cô
Xem chi tiết
Cát Cát Trần
Xem chi tiết
Nguyễn Khắc Tùng Lâm
Xem chi tiết
Hương Đoàn
Xem chi tiết
Ngọc Ngân
Xem chi tiết