§3. Hàm số bậc hai

a) y = x² - 3x + 2. Hệ số: a = 1, b = - 3, c = 2.

Vậy đỉnh parabol là .

x² - 3x + 2 = 0 ⇔ x₁ = , x₁ = .

Vậy các giao điểm của parabol với trục hoành là B(1; 0) và C(2; 0).

b) Đỉnh I(1; 1). Giao điểm với trục tung A(0;- 3).

Phương trình - 2x² + 4x - 3 = 0 vô nghiệm. Không có giao điểm cuả parabol với trục hoành.

c) Đỉnh I(1;- 1). Các giao điểm với hai trục tọa độ: A(0; 0), B(2; 0).

d) Đỉnh I(0; 4). Các giao điểm với hai trục tọa độ: A(0; 4), B(- 2; 0), C(2; 0).

a) Bảng biến thiên:

Đồ thị: - Đỉnh:

- Trục đối xứng:

- Giao điểm với trục tung A(0; 1)

- Giao điểm với trục hoành , C(1; 0).

(hình dưới).

b) y = - 3x² + 2x – 1=

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị: - Đỉnh Trục đối xứng: .

- Giao điểm với trục tung A(0;- 1).

- Giao điểm với trục hoành: không có.

Ta xác định thêm mấy điểm: B(1;- 2), C(1;- 6). (bạn tự vẽ).

c) y = 4x² - 4x + 1 = .

Lập bảng biến thiên và vẽ tương tự câu a, b.

d) y = - x² + 4x – 4 = - (x – 2)²

Bảng biến thiên:

Cách vẽ đồ thị:

Ngoài cách vẽ như câu a, b, ta có thể vẽ như sau:

+ Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = - x^2.

+ Tịnh tiến (P) song song với Ox sang phải 2 đơn vị được (P₁) là đồ thị cần vẽ. (hình dưới).

e) y = 2x²+ x + 1;

- Đỉnh

- Trục đối xứng :\(x=\dfrac{-1}{4}\)

- Giao Ox: Đồ thị không giao với trục hoành

- Giao Oy: Giao với trục tung tại điểm (0;1)

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị theo bảng sau:

f) y = - x² + x - 1.

- Đỉnh

- Trục đối xứng : \(x=\dfrac{1}{2}\)

- Giao Ox: Đồ thị không giao với trục hoành

- Giao Oy: Giao với trục tung tại điểm (0;-1)

Bảng biến thiên:

Vẽ đồ thị theo bảng sau:

a) Vì parabol đi qua M(1; 5) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình của parabol: 5 = a.1² + b.1 + 2.

Tương tự, với N(- 2; 8) ta có: 8 = a.(- 2)² + b.(- 2) + 2

Giải hệ phương trình: ta được a = 2, b = 1.

Parabol có phương trình là: y = 2x² + x + 2.

b) Giải hệ phương trình:

Parabol: y = x² - x + 2.

c) Giải hệ phương trình:

Parabol: y = x² - 4x + 2.

d) Ta có:

Parabol: y = 16x² + 12x + 2 hoặc y = x² - 3x + 2.

Hàm số đi qua \(A\left(8;0\right)\) nên: \(a.8^2+8b+c=0\)\(\Leftrightarrow64a+8b+c=0\).
Hàm số có đỉnh là: \(I\left(6;-12\right)\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=6\\6^2.a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12a+b=0\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\).
Vậy ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}64a+8b+c=0\\-b=12a\\36a+6b+c=-12\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-36\\c=96\end{matrix}\right.\).
Vậy : \(y=-3x^2-36x+96\).

Lời giải

a)

a.1) Trục đối xứng y =1/4

a.2) giao trục tung A(0,-2)

a.3) giao trục hoành (\(\left(\Delta=17\right)\) \(B\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}{4};0\right)\);\(C\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\right)\)

b)

b.1) Trục đối xứng y =-1/4

b.2) giao trục tung A(0,2)

a.3) giao trục hoành \(\left(\Delta=17\right)\) \(B\left(\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4};0\right)\);\(C\left(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}\right)\)

a)

y(1) =a-4+c=\(-2\)\(\Rightarrow\) a+c=2

y(2)=4a-8+c=3 \(\Rightarrow\)4a+c=3

Trừ cho nhau\(\Rightarrow\)3a=1 \(\Rightarrow\)a=\(\dfrac{1}{3}\)\(\Rightarrow\)  \(c=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\).

Vậy: \(y=\dfrac{1}{3}x^2-4x+\dfrac{5}{3}\).

b)

I(-2;1)\(\Rightarrow\dfrac{4}{2a}=-2\)\(\Leftrightarrow a=-1\).

y(-2) \(=-4+8+c=1\)\(\Rightarrow\) \(c=-3\)

Vậy: \(y=-x^2-4x-3\).

c)\(\dfrac{4}{2a}=-3\)\(\Leftrightarrow a=-\dfrac{2}{3}\)
\(y\left(-2\right)=-\dfrac{2}{3}.4+8+c=1\)\(\Leftrightarrow c=-\dfrac{13}{3}\)
Vậy: \(y=-\dfrac{2}{3}x^3-4x-\dfrac{13}{3}\).

Hình 22

y=ax^2 +bx+c thỏa mãn hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(0\right)=-4\Rightarrow c=-4\\y\left(-3\right)=9a-3b-4=0\\y\left(-6\right)=36a-6b-4=-4\end{matrix}\right.\)

(3) -(2) nhân 2

\(36a-18a-4+8=-4\Rightarrow18a=-8\Rightarrow a=\dfrac{-8}{18}=\dfrac{-4}{9}\)

Thế vào (2) -4-3b-4=0 => b=-8/3

Vậy pa ra bo; cho hình 22 là

\(y=-\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{8}{3}x-4\)

Pra bol đối xứng qua trục Tung => điểm cao nhất thuộc Parabol có tọa độ (2,h)

\(x=2\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a.2^2=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{1}{8}\)

Lời giải

Parabol nhận trục tung là trục đối xứng

(điểm thấp nhất thuộc đồ thị có tọa độ A(4,ya)

\(y\left(4\right)=-\dfrac{1}{2}.4^2=-8\)

Vậy chiều cao cổng là 8m