Bài 2: Mặt cầu

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB, vì tam giác AMB vuông tại M nên trung tuyến MO bằng nửa cạnh huyến, tức MO = AB/2 = R.

Vậy tập hợp các điểm M nhìn AB dwói một góc vuông nằm trêm mặt càu đường kính AB

Ngược lại, lấy M thuốc mặt cầu đwòng kính AB thì MO = AB/2 do đó nếu M khác A và B thì tam giác MAB vuông tại M, còn khi M = A hoặc M = B ta cũng coi M nhìn AB một góc vuông.

Kết luận: Tập hợp các điểm M trong không gian nhín đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu đương kính AB


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi I = AC ∩ BD. Ta thấy AC = a√2 = BD,

SA = SC = a, nên SA2 + SC2 = AC2. Vậy điểm S nhìn AC dưới một góc vuông. Các điểm B và D cũng nhìn AC dưới một góc vuông.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đường kính AC. Tâm của cầu là điểm I và bán kính R = . Ta thấy rằng điểm I cũng là chân đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy.


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giả sử đường tròn cố định (C) tâm I bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Xét đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P). Đường thẳng d được gọi là trục của đường tròn. Giả sử O là tâm của mặt cấu (S) chứa đường tròn (C) thì O cách đều mọi điểm của (C).Vì vậy chân đường vuông góc hạc từ O xuống mặt phẳng (P) chính là tâm I của (C). Điều đó xảy ra khi và chỉ khi điểm O εd

Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cấu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Giả sử tam giác ABC cho trước nằm trong mặt phẳng (P). mặt cầu (S) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC sẽ giao với mặt phẳng (P) theo một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC, chính là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Theo bài 3, tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm I, là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Xét hai tam giác MAD và MCB có góc chung nên hai tam giác đó đồng dạng.

Vì vậy: => MA.MB = MC.MD.

b) Đặt MO = d, ta có Oi vuông góc với (P) và ta có:

MO2= MI2 = OI2 và OA2 = OI2 + IA2

Hạ IH vuông góc AB, ta có H là trung điểm của AB.

Ta có MA = MH - HA; MB = MH + HB = MH + HA.

Nên MA.MB =

MH2 – HA2 = (MH2 + HI2) – (HA2 + IH2)

= MI2 – IA2 = ( MI2 + OI2) – (IA2 + OI2)

= MO2 – OẢ2

= d2 – r2

Vậy MA.MB = d2 – r2


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Theo tính chất của mặt cầu, ta có AI và AM là hai tiếp tuyến với cầu kẻ từ A, cho nên AI = AM, tương tự BI =BM. Từ đó hai tam giác ABI và ABM bằng nahau (c.c.c), cho nên các góc tương ứng bằng nhau, tức


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hướng dẫn giải:

a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo AC", BD', CA" và DB" căt nhau tại điểm I là trung điểm của mỗi đường.

Vì 4 đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm I cách đề 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Vì AB = b, AD = c, AA' = a nên bán kính mặt cầu .

b) Giao tuyến của mặt phẳng ABCD với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là hai đwòng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Hỏi đáp Toán

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Xét mặt phẳng (P) qua điểm A và (P) vuông góc với đường thẳng a. GỌi giao của (P) với a là điểm I. Xét mặt cầu tâm O bán kính r = OA; mặt cầu này giao với mặt phẳng (P) theo đường tròn tâm I là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và bán kính IA = r2 cố định

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Hạ IJ vuông góc (SAB), vì J cách đều 3 điểm S, A, B nên J cũng cách đều 3 điểm S, A, B.

Vì tam giác SAB vuông đỉnh S nên J là trung điểm của AB.

Ta có SJ = .

Do SC vuông góc (SAB) nên IJ // SC.

Gọi H là trung điểm SC, ta có SH = IJ = .

Do vậy, IS2 = IJ2 + SJ2 = (a2 + b2 + c2)/4 và bán kính hình cầu ngoại tiếp S.ABC là

r = IS = .

Diện tích mặt cầu là:

S = 4 πr2 = π(a2 + b2 + c2) (đvdt)

Thể tích khối cầu là : (đvtt)