Bài 2: Dãy số

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

TenAnh1 TenAnh1 A = (-4.36, -5.2) A = (-4.36, -5.2) A = (-4.36, -5.2) B = (11, -5.2) B = (11, -5.2) B = (11, -5.2)

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Năm số hạng đầu của dãy số là -1, 2, 5, 8, 11.

b) Chứng minh un = 3n - 4 bằng phương pháp quy nạp:

Với n =1 thì u1 3.1 - 4 = -1, đúng.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.

Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:

uk+1 = uk + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4.

Vậy hệ thức đúng với mọi n ε N*



Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)

u2 = √10 = √(2 + 8)

u3 = √11 = √(3 + 8)

u4 = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

uk+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)

u2 = √10 = √(2 + 8)

u3 = √11 = √(3 + 8)

u4 = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ε N* (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

uk+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Xét hiệu un+1 - un = - 2 - ( - 2) = - .

< nên un+1 - un = - < 0 với mọi n ε N* .

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu un+1 - un =

=

Vậy un+1 > un với mọi n ε N* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì un > 0 với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.

Ta có với mọi n ε N*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm


Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)
a) Dãy số bị chặn dưới vì un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n2 -1 > M <=> n > . tức là luôn tồn tại n ≥ + 1 để 2 - 1 > M. b) Dễ thấy un > 0 với mọi n ε N* Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n2 ≥ 1 và 2n ≥ 2. Do đó n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3, suy ra . Vậy dãy số bị chặn 0 < un với mọi n ε N* c) Vì n ≥ 1 nên 2n2 - 1 > 0, suy ra > 0 Mặt khác n2 ≥ 1 nên 2n2 ≥ 2 hay 2n2 - 1≥ 1, suy ra ≤ 1. Vậy 0 < un ≤ 1, với mọi n ε N* , tức dãy số bị chặn. d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + ), với mọi n. Do đó: -√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N* Vậy -√2 < un < √2, với mọi n ε N* .



Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (3)

a)
\(u_1=10^{1-2.1}=10^{-1};u_2=10^{1-2.2}=10^{-3}\);
\(u_3=10^{1-2.3}=10^{-5}\); \(u_4=10^{1-2.4}=10^{-7}\);
\(u_5=10^{1-2.5}=10^{-9}\).
Xét \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{1-2\left(n-1\right)}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{3-2n}}=10^{-2}=\dfrac{1}{100}\).
Suy ra: \(u_n=\dfrac{1}{100}u_{n-1}\) và dễ thấy \(\left(u_n\right)>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên \(u_n< u_{n-1},\forall n\ge2\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

a)
\(u_1=5\)
\(u_2-u_1=1\)
\(u_3-u_2=4\)
............
\(u_n-u_{n-1}=3\left(n-1\right)-2=3n-5\)
Cộng từng vế của đẳng thức và rút gọn ta được:
\(u_n=5+1+4+7+...+3n-5\)
\(=5+\dfrac{\left(3n-5+1\right)\left(n-1\right)}{2}=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\).
Vậy \(u_n=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\) với \(n\ge1\).
Xét hiệu:
\(u_1=5\)
\(u_n-u_{n-1}=3n-5\) \(\left(n\ge2\right)\)
Với \(n\ge2\) thì \(3n-5>0\) nên \(u_n>u_{n-1}\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

Sách Giáo Khoa
Hướng dẫn giải Thảo luận (1)

Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân